5.5 Mudança de variáveis na integral tripla. Coordenadas esféricas

bola B1 ⊂ B,

 

Prove que f (x, y, z) = g (x, y, z) em todo ponto (x, y, z) interior a B.

9. 3 Seja B ⊂ ℝ uma bola fechada e seja f: B → ℝ uma função contínua, com f (x,

y, z) 0 em B. Prove que f (x, y, z) dV > 0.

10. 3 Seja B ⊂ ℝ um conjunto limitado, com fronteira de conteúdo nulo, e seja f: B

→ ℝ uma função contínua tal que f (x, y, z) ≥ 0 em B. Suponha que f (x, y,

z) dV = 0. Prove que f (x, y, z) = 0 em todpo pomto interior de B.

11. 2 Calcule x dx dy dz, onde B é o conjunto de todos (x, y, z) tais que 0 ≤ x ≤

1, 0 ≤ y ≤ 1 e z = 2. Compare com o Exercício 10 e explique.

 

5.5. MUDANÇA DE VARIÁVEIS NA INTEGRAL TRIPLA.

COORDENADAS ESFÉRICAS

O teorema de mudança de variáveis na integral dupla estende-se sem nenhuma modificação para integrais triplas.

 

Teorema 3 ( de mudança de variáveis na integral tripla ). Seja φ : Ω ⊂ ℝ →

ℝ3 1 , Ω aberto, de classe C, sendo φ dada por (x, y, z) = φ (u, v, w), com x = x (u, v,

w), y = y (u, v, w) e z = z (u, v, w). Seja Buvw contido em Ω, Buvw compacto e com

fronteira de conteúdo nulo e seja B a imagem de B pela φ. Suponhamos que φ ( uvw

uvw uvw ) = e que φ seja inversível no interior de B. Suponhamos, ainda, que

para todo (u, v, w) ∈ uvw. Nestas condições, se f (x, y, z) for

integrável em B, então

EXEMPLO 1. Calcule onde B é o paralelepípedo

 

 

Solução

Façamos a mudança de variáveis: u = x + y − z, v = x + 2y + z e w = z. Temos:

 

Segue que

 

Assim,

 

B uvw é evidentemente o paralelepípedo

ou seja,

 

EXEMPLO 2. Calcule o volume do paralelepípedo B dado no Exemplo 1.

Solução

volume de B = dx dy dz.

Utilizando a mudança de variáveis do Exemplo 1, vem:

 

Portanto, o volume de B é (unidades de volume).

■

EXEMPLO 3. (Coordenadas esféricas.) Cada ponto P = (x, y, z) fica determinado pelas suas coordenadas esféricas (θ, ρ, φ), onde θ é o ângulo entre o vetor = (x,

y, 0) e o semieixo positivo Ox, ρ o comprimento do vetor e φ o ângulo entre o vetor e o semieixo positivo Oz.

As coordenadas cartesianas (x, y, z) do ponto P e suas coordenadas esféricas relacionamse do seguinte modo:

 

A seguir, vamos calcular o determinante jacobiano da transformação ①.

 

Assim,

Como este resultado irá ocorrer várias vezes, sugerimos ao leitor decorá-lo.

Seja um compacto, com

fronteira de conteúdo nulo, contido em S. Observamos que a transformação dada por ①

é inversível no interior de S e que, para todo (θ, ρ, φ) em Seja

B a imagem de Bθρφ pela transformação ①. Então, é a imagem de θρφ pela transformação ① (verifique). Então, se f for contínua em B

 

EXEMPLO 4. Seja Bθρφ um paralelepípedo de faces paralelas aos planos coordenados e de arestas Δθ, Δρ e Δφ, contido no conjunto S acima. Seja B a imagem de Bθρφ pela trans-formação x = ρ sen φ cos θ, y = ρ sen φ sen θ e z = ρ cos φ. Mostre que existe (θ , 1 ρ1, φ1) em Bθρφ tal que

 

Solução

volume de B = dx dy dz.

Passando para coordenadas esféricas, obtemos:

 

Pelo teorema do valor médio para integrais, existe (θ , ρ , φ ) em Bθρφ tal que 1 1 1

 

(Observe que Δθ Δρ Δφ é o volume de Bθρφ.) Portanto, existe (θ 1, ρ1, φ1) em Bθρφ tal que

Antes de passarmos ao próximo exemplo, observamos que a fórmula ② que precede o Exemplo 4 continua válida mesmo quando Bθρφ estiver contido no conjunto de todos (θ, ρ, φ) tais que 0 ≤ θ ≤ 2π, ρ ≥ 0 e 0 ≤ φ ≤ π. (Verifique.)

■

EXEMPLO 5. 2 2 2 Calcule a massa da esfera x + y + z ≤ 1, supondo que a densidade no ponto (x, y, z) é igual à distância deste ponto à origem.

Solução

A massa M da esfera é

onde 2 2 2 B é a esfera x + y + z ≤ 1. Passando para coordenadas esféricas, obtemos

 

onde Bθρφ é o paralelepípedo 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ π. Segue que

 

EXEMPLO 6. Calcule o volume do conjunto de todos (x, y, z) tais que

1 ≤ x + y + z ≤ 3, x + y ≤ z ≤ x + y + 2, x ≥ 0 e y ≥ 0.

Solução

Façamos a mudança de variáveis

 

que é equivalente a

 

A ① transforma os planos

x + y + z = 1 e x + y + z = 3

nos planos

v = 1 e v = 3;

transforma os planos

z = x + y e z = x + y + 2

nos planos

u = 0 e u = 2;

transforma o plano x = 0 no plano w = 0; finalmente, transforma o plano y = 0 no plano

 

ou seja

2w = v − u.

A condição x ≥ 0 acarreta w ≥ 0; a condição y ≥ 0 acarreta

− 2w − u + v ≥ 0.

 

a ① transforma o conjunto B no conjunto Buvw.

Temos

Assim

 

 

Portanto,

 

onde K é o compacto

 

Temos

 

Logo,

EXEMPLO 7. Calcule

 

 

onde B é o conjunto de todos (x, y, z) tais que

 

Solução

Vamos passar para coordenadas esféricas

 

Temos

dx dy dz 2 = ρ sen φ dφ dρ dθ.

Vejamos como fica a equação do paraboloide em coordenadas esféricas:

ρ 2 2 2 2 2 2 cos φ = ρ sen φ cos θ + ρ sen φ sen θ

ou seja

O conjunto B é obtido pela rotação da região hachurada, em torno do eixo z. (Observe que é uma superfície cônica obtida pela rotação da reta

 

em torno do eixo z.)

Para cada (θ, φ) fixo, com

 

Temos

 

onde Bθρφ é o conjunto de todos (θ, φ, ρ) tais que

 

Então

onde K é o retângulo

 

Segue que

 

Fazendo obtemos

 

Para calcular a última integral, utilize a fórmula de recorrência

 

(Veja Exercício 2a da pág. 360 do Vol. 1, 5.ª edição.)

■

EXEMPLO 8. Calcule a massa do sólido

 

sendo a densidade no ponto (x, y, z) igual à distância do ponto à origem.

Solução

 

onde B é o conjunto ①.

Solução

A equação do plano z = 1 em coordenadas esféricas é

ρ cos φ = 1

ou seja

 

A equação da superfície esférica 2 2 2 x + y + z = 2z em coordenadas esféricas é

ρ2 = 2ρ cos φ,

ou seja,

ρ = 2 cos φ.

(Observe que

x 2 2 2 2 2 2 + y + z = 2 z ⇔ x + y + ( z − 1) = 1

que é uma superfície esférica de centro (0, 0, 1) e raio 1.)

Para cada (θ, φ) fixo, com

 

Temos, então

 

onde K é o retângulo

 

ou seja

 

Fazendo u = cos φ e, portanto, du = −sen φ dφ resulta

O cálculo da integral fica para o leitor.

 

■

EXEMPLO 9. Calcule

 

onde B é o conjunto de todos (x, y, z) tais que

 

Solução

 

1.º Processo

Vamos, inicialmente, deslocar o centro do elipsoide para a origem. Para isto basta fazer a mudança de variáveis

 

ou seja

 

Como

resulta

 

 

onde B é o conjunto uvw

 

Vamos, agora, transformar o conjunto ① em uma esfera. Para isto basta fazer a mudança de variáveis

 

ou seja

 

Como

 

resulta

onde B1 é a esfera

X2 2 2 + Y + Z ≤ 1.

Passando para coordenadas esféricas resulta

 

onde Bθρφ é o paralelepípedo

0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ ρ ≤ 1.

Temos

 

e, portanto,

 

2.º Processo

Vamos fazer a mudança de variáveis

 

Temos

Bθρφ é o paralelepípedo

0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ π.

Observe que para cada ρ fixo no intervalo [0, 1], ② transforma o retângulo

{(θ, ρ, φ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π }

no elipsoide

 

Segue que

 

EXEMPLO 10. Considere a integral

f (x, y, z) dx dy dz

sendo B o conjunto

r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ≤ x + y + z ≤ R , a z − x − y ≥ 0, z ≥ 0

onde 0 < r < R e a > 0 são reais dados; f : B → ℝ é suposta contínua. Passe para coordenadas esféricas.

Solução

é uma superfície cônica gerada pela rotação, em torno do eixo z,

da reta

Para cada (θ, φ) fixo, com 0 ≤ θ ≤ 2π e 0 ≤ φ ≤ φ0 (φ0 = arc tg a), ρ deverá variar de r até R. Temos, então

 

onde K é o retângulo 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ φ0 e

g (θ, φ, ρ) = f (x, y, z)

com x = ρ sen φ cos θ, y = ρ sen φ sen θ e z = ρ cos φ.

■

Exercícios 5.5

1. Calcule