2.4 Uma condição suficiente para integrabilidade de uma função sobre um conjunto limitado

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Exercícios 2.3

1. 2 Sejam A e B subconjuntos do ℝ, com A ⊂ B. Prove que se B tiver conteúdo

nulo, então A também terá.

2. Prove que o conjunto vazio tem conteúdo nulo.

3. 2 Prove que todo subconjunto do ℝ com um número finito de pontos tem

conteúdo nulo.

2.4. UMA CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA

INTEGRABILIDADE DE UMA FUNÇÃO SOBRE UM

CONJUNTO LIMITADO

Seja 2 2 B ⊂ ℝ e seja ( x , y ) um ponto do ℝ que pode pertencer ou não a B. Dizemos

0 0

que (x , y ) é um ponto de fronteira de B se toda bola aberta de centro (x , y ) contiver 0 0 0 0 pelo menos um ponto de B e pelo menos um ponto não pertencente a B. O conjunto de todos os pontos de fronteira de B denomina-se fronteira de B.

EXEMPLO 1. 2 2 2 Seja B = {( x , y ) ∈ ℝ | x + y < 1}. A fronteira de B é o conjunto {(x, y 2 2 2 ) ∈ ℝ | x + y = 1}.

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EXEMPLO 2. 2 2 2 Seja B = {( x , y ) ∈ ℝ | x ≤ y ≤ x + 1, 0 ≤ x ≤ 1}. A fronteira de B é o conjunto

G 2 2 ⋃ G ⋃ {(0, y ) ℝ | 0 ≤ y ⋃ {(1, y ∈ ≤ 1} ) ∈ ℝ | 1 ≤ y ≤ 2}

g h

onde 2 2 G e G são, respectivamente, os gráficos das funções g ( x ) = x e h ( x ) = x + 1,

g h

com 0 ≤ x ≤ 1. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto B.) Observe que a fronteira de B tem conteúdo nulo. (Por quê?)

O próximo teorema, cuja demonstração encontra-se no Apêndice 2, fornece-nos uma condição suficiente para que uma função seja integrável sobre um conjunto limitado. Antes de enunciar tal teorema, lembramos que f se diz limitada em B se existirem reais α e β tais que, para todo (x, y) ∈ B, α ≤ f (x, y) ≤ β.

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Teorema. 2 Seja B ⊂ ℝ um conjunto limitado e seja f : B → ℝ uma função

contínua e limitada. Nestas condições, se a fronteira de B tiver conteúdo nulo,

então f será integrável em B.

Observação. No teorema acima, a hipótese “f é contínua” pode ser substituída por “f é contínua em todos os pontos de B, exceto nos pontos de um conjunto de conteúdo nulo”.

Pelo que vimos na seção anterior, se a fronteira de B for igual a M ⋃ N, onde M é a reunião de um número finito de gráficos de funções contínuas definidas em intervalos fechados e 1 N a reunião de um número finito de imagens de curvas de classe C

definidas em intervalos fechados, então a fronteira de B terá conteúdo nulo.

EXEMPLO 3. 2 2 Sejam f ( x , y ) = x + y e B o conjunto de todos ( x , y ) tais que x + y ≤ 1. A função f é integrável em B? Por quê?

Solução

f é contínua e limitada em B (verifique). Por outro lado, a fronteira de B é a imagem da curva de classe 1 C dada por x = cos t, y = sen t, t ∈ [0, 2π]; logo a fronteira de B tem conteúdo nulo. Segue do teorema anterior que f é integrável em B, isto é, a integral

existe.

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EXEMPLO 4. A função f do exemplo anterior é integrável no conjunto

B 2 2 2 = {( x , y ) ∈ ℝ | x ≤ y ≤ 1 + x, − 1 ≤ x ≤ 1} ?

Por quê?

Solução

f é contínua em B e é limitada em B (verifique). A fronteira de B tem conteúdo nulo, pois é a reunião dos conjuntos 2 D , D , D e D , onde D é o gráfico de y = x, − 1 ≤ x ≤

1 2 3 4 1

1; 2 D o gráfico de y = 1 + x, − 1 ≤ x ≤ 1; D a imagem da curva x = 1, y = t, 1 ≤ t ≤ 2;

2 3

D 2 a imagem da curva x = − 1, y = t , 1 ≤ t ≤ 2. (Observe que as funções y = x e y = 1 +

4

x 2 1 são contínuas e as curvas mencionadas são de classe C.) Segue que f é integrável em B.

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EXEMPLO 5. 2 2 Seja B o círculo x + y ≤ 1. Seja f : B → ℝ dada por

f é integrável em B? Por quê?

Solução

A fronteira de B tem conteúdo nulo. A função f é limitada em B (para todo (x, y) ∈ B, − 1 ≤ f (x, y) ≤ 1) e é descontínua apenas nos pontos (x, 0), − 1 ≤ x ≤ 1. Como o conjunto dos pontos de descontinuidade tem conteúdo nulo, segue que f é integrável em B.