7.3 Integral de linha de um campo conservativo

h)

i 2 ) dy , ( x , y ) ∈ Ω, onde Ω é o conjunto {( x , y ) ∈ ℝ | y

> 0} 2 ᴜ {( x , y ) ∈ ℝ | x < 0}

2. Mostre que existem naturais m e n para os quais a forma diferencial

3 + 1 + 1 + 2 x y dx + 2 xy dy m n m n

é exata.

3. Considere a forma diferencial u (x, y) P (x, y) dx + u (x, y) Q (x, y) dy, onde P,

Q 1 2 e u são supostas de classe C no aberto Ω ⊂ ℝ. Prove que uma condição necessária para que a forma diferencial seja exata em Ω é que

 

4. 3 Determine u ( x , y ), que só dependa de x , tal que ( x + x + y) u (x, y) dx − xu (x,

y) dy seja exata.

5. Determine u (x, y), que só dependa de y, de modo que

( 2 2 y + 1) u ( x , y ) dx + ( x + y − 1) u (x, y) dy

seja exata.

 

7.3. INTEGRAL DE LINHA DE UM CAMPO

CONSERVATIVO

Vimos no Vol. 1 que se f : [a, b] → ℝ for contínua e se φ : [a, b] → ℝ for uma primitiva de f (φ' = f), então

Vamos, agora, generalizar este resultado: provaremos que se : Ω ⊂ ℝn → ℝn for um campo vetorial contínuo e conservativo, se φ : Ω → ℝ for uma função potencial para e se 1 γ : [ a, b ] → Ω for de classe C, então

 

onde A = γ (a) e B = γ (b).

De fato, sendo φ uma função potencial para e sendo contínua, resulta que φ é de classe 1 C em Ω. Pela regra da cadeia

 

Daí

 

Portanto,

 

Demonstramos, assim, o seguinte teorema.

 

Teorema. Se : Ω ⊂ ℝn → ℝn for um campo vetorial contínuo e

conservativo, se φ : Ω → ℝ for uma função potencial para (∇φ = ) e se γ : [

a, b 1 ] → Ω for uma curva de classe C, com A = γ (a) e B = (b), então

 

A diferença φ (B) − φ (A) será indicada por

No teorema acima, a curva 1 γ foi suposta de classe C; fica a seu cargo verificar que o teorema continua válido se 1 γ for suposta de classe C por partes.

Sejam 1 P ( x , y ) e Q ( x , y ) contínuas no aberto Ω e seja γ : [ a, b ] → Ω de classe C

por partes. Segue, do que vimos acima, que se P dx + Q dy for exata, com primitiva φ, teremos

P dx + Q dy = dφ = φ (B) − φ (A).

ATENÇÃO. Sempre que for calcular uma integral de linha, verifique, primeiro, se o campo vetorial é conservativo (ou se a forma diferencial é exata). Em caso afirmativo, aplique os resultados obtidos nesta seção.

EXEMPLO 1. Calcule x dx + y dy, onde γ é dada por

x 3 = arctg t e y = sen t, 0 ≤ t ≤ 1.

Solução

x dx + y dy é uma forma diferencial exata, com primitiva Assim,

 

ou seja,

 

■

EXEMPLO 2. Calcule

e 2 1 γ : [ a, b ] → ℝ − {(0, 0)} é uma curva C por partes e fechada (γ (a) = γ(b)).

Solução

é um campo conservativo, com função potencial Tem-

se, então:

 

Como γ (a) = γ(b), resulta

 

O próximo exemplo exibe-nos um campo vetorial não conservativo com rotacional

, o que mostra que rot = é uma condição necessária mas não suficiente para

ser conservativo.

EXEMPLO 3. (Exemplo de campo não conservativo com rotacional .) Seja

 

Verifica-se facilmente que rot 2 = em Ω = ℝ − {(0, 0)}. Consideremos a curva fechada γ (t) = (cos t, sen t), 0 ≤ t ≤ 2 π. Temos:

 

Se fosse conservativo, existiria φ : Ω → ℝ, com ∇φ = em Ω, e daí teríamos

 

■

que contradiz o resultado obtido acima.

Seja : Ω 1 ⊂ ℝ → ℝ ( n = 2, 3) de classe C no aberto Ω. Veremos mais adiante n n

que, impondo certas restrições ao aberto Ω, a condição rot = em Ω será necessária e suficiente para ser conservativo.

Seja : Ω ⊂ ℝn → ℝn um campo vetorial contínuo e sejam A e B dois pontos quaisquer de Ω. Suponhamos conservativo com função potencial φ. Segue que, para toda curva 1 γ : [ a, b ] → Ω , C por partes, ligando A a B (isto é, com γ (a) = A e γ (b) = B), teremos

 

isto é, o valor da integral de linha de não depende da curva que liga A a B; tal

valor depende apenas dos pontos A e B.

Este fato nos permite, no caso de ser conservativo, utilizar a notação

para indicar a integral de linha de 1 sobre uma curva C por partes,

ligando A a B. Observe que tal notação não teria sentido se o valor da integral dependesse da curva ligando A a B.

EXEMPLO 4. 3 3 ( Conservação da energia mecânica .) Suponhamos : Ω ⊂ ℝ → ℝ

um campo de forças contínuo e conservativo; assim, existe um campo escalar E p : Ω → ℝ tal que = − ∇E . (Observe que −E é uma função potencial para .) Diremos que p p E é uma função energia potencial para . Suponhamos, agora, que uma partícula P de p

massa m desloque em Ω e que seja a única força agindo sobre P. Suponhamos, ainda, que γ(t) seja a posição da partícula no instante t, onde γ é uma curva de classe C1 definida no intervalo I. Seja t um instante fixo em I. Para todo t em I, o trabalho

0

realizado por entre os instantes t e t é: 0

 

Por outro lado, tendo em vista o Exemplo 3 da Seção 6.1, o trabalho realizado por entre os instantes t0 e t é igual à variação na energia cinética, isto é:

onde 2 E (t) = mv (t) é a energia cinética no instante t. Segue que, para todo t ∈ I,

 

c

−Ep (γ (t)) + Ep (γ (t0)) = Ec (t) − Ec (t0)

ou seja,

E (γ(t)) + E (t) = E (γ (t )) + E (t ) p c p 0 c 0

o que mostra que a soma da energia potencial com a energia cinética permanece constante durante o movimento.

■

Exercícios 7.3

1. Calcule

 

2. Seja : Ω ⊂ ℝn → ℝn contínuo no aberto Ω. Prove que uma condição

necessária para que seja conservativo é que para toda curva γ