8 Teorema de Green

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TEOREMA DE GREEN

 

8.1. TEOREMA DE GREEN PARA RETÂNGULOS

 

Teorema de Green (para retângulos). Seja K o retângulo

{( 2 x, y ) ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} e seja γ a fronteira de B orientada no sentido

anti-horário. Suponhamos que 1 P ( x, y ) e Q ( x, y ) sejam de classe C num aberto Ω

contendo K. Então

 

Demonstração

Vamos provar que

 

e

 

Temos:

 

Por outro lado,

 

ou seja,

De ① e ② resulta

 

De forma análoga verifica-se que

 

Somando-se membro a membro as duas últimas igualdades resulta o teorema.

■

A notação é frequentemente usada para indicar a integral de linha

sobre uma curva fechada, orientada no sentido anti-horário. Com esta notação, a igualdade a que se refere o teorema de Green se escreve

 

EXEMPLO. 1 2 Suponha de classe C no aberto Ω ⊂ ℝ. Seja γ a fronteira de B orientada no sentido anti-horário, onde B é o conjunto a seguir

 

Prove que

Solução

Inicialmente, vamos dividir B em dois retângulos: B1 de vértices R, S, T, U; B2 de vértices U, V, X, Z.

 

Pelo teorema de Green,

 

e

 

Somando-se membro a membro as duas últimas igualdades e observando que

 

resulta

 

Exercícios 8.1

1. 1 2 Sejam P ( x, y ) e Q ( x, y ) de classe C num aberto Ω de ℝ. Seja B ⊂ Ω um

retângulo de lados paralelos aos eixos e de comprimentos Δx e Δy. Prove que existe (s, t) ∈ B tal que

onde γ é a fronteira de B orientada no sentido anti-horário.

 

2. Sejam γ 1 a poligonal de vértices A, B, C, D orientada no sentido anti-horário e

γ2 a poligonal de vértices H, G, F, E orientada no sentido horário.

 

Suponha 1 P e Q de classe C num aberto contendo K, onde K é a região compreendida entre as poligonais. Prove que

 

3. Seja B o conjunto

 

e seja γ a fronteira de B orientada no sentido anti-horário. Suponha P (x, y) e Q ( 1 x, y ) de classe C num aberto Ω contendo B. Prove que

4. Seja K o triângulo a seguir e γ a fronteira de K orientada no sentido anti-

 

horário. Sejam 1 P ( x, y ) e Q ( x, y ) de classe C num aberto contendo K.

 

Prove que

 

5. Seja K a região abaixo e γ a fronteira de K orientada no sentido anti-horário.

Sejam 1 P e Q de classe C num aberto contendo K.

Prove que

 

(Sugestão. Decomponha K em retângulos e triângulos. Utilize, então, o teorema da seção e o Exercício 4.)

6. Seja K a região hachurada; γ a poligonal ABCD orientada no sentido anti-

horário; γ a poligonal EHGF orientada no sentido horário; γ a poligonal 1 2 XWZY orientada no sentido horário. Prove que

 

7. 1 2 Suponha P ( x, y ) e Q ( x, y ) de classe C num aberto Ω de ℝ. Prove que

irrotacional se e somente se

 

para toda curva γ, orientada no sentido anti-horário e fronteira de um retângulo de lados paralelos aos eixos e contido em Ω.

8. ( Teorema de Green para um círculo.) Seja B o círculo de centro na origem e

raio r. Seja γ (t) (r cos t, r sen t), 0 ≤ t ≤ 2π. Suponha que P e Q sejam de classe 1 C num aberto Ω contendo B. Prove