1 Funções de várias variáveis reais a valores vetoriais

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FUNÇÕES DE V ÁRIAS V ARIÁVEIS

REAIS A V ALORES V ETORIAIS

 

1.1. F UNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS A VALORES

VETORIAIS

Sejam n e m dois naturais diferentes de zero. Uma função de n variáveis reais a valores em ℝm é uma função f: A → ℝm, onde A é um subconjunto não vazio de ℝn. Uma tal função associa a cada n-upla ordenada (x1, x2, …, xn) ∈ A um único vetor f (x1, x 2, …, xn) pertencente a ℝm. O conjunto A é o domínio de f. A imagem de f é o conjunto

Im f = { f (x1, x2, …, xn) ∈ ℝm | (x1, …, xn) ∈ A}.

A imagem de f será, também, indicada por f (A). Se B for um subconjunto de A, indicaremos, ainda, por f (B) o conjunto de todos f (x1, x2, …, xn) com (x1, x2, …, xn) ∈ B; diremos, então, que f transforma o conjunto B no conjunto f (B) ⊂ ℝm. As palavras transformação e aplicação são sinônimos de função.

EXEMPLO 1. 2 3 f : ℝ → ℝ dada por f (u, v) (x, y, z) onde

é uma função com domínio 2 3 ℝ e com valores em ℝ. Esta função transforma o par ordenado ( 2 2 2 2 u, v ) na terna ( u, v, u + v ). A imagem de f é o conjunto {( u, v, u + v) | (u, v 2 3 2 2 2 ) ∈ ℝ } que é igual a {( x, y, z ) ∈ ℝ | z = x + y , ( x, y ) ∈ ℝ}.

A imagem de 2 2 f coincide, então, com o gráfico da função dada por z = x + y.

 

f 2 2 transforma o plano uv no paraboloide z = x + y

■

EXEMPLO 2. (Coordenadas polares.) Seja a função φ (θ, ρ) = (x, y) dada por

 

a ) Desenhe o conjunto φ (B) onde B é a reta ρ = 2. b) Desenhe o conjunto φ (B) onde B é o retângulo 0 ≤ ρ ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2π.

Solução

a) φ (B) é o conjunto dos pares (x, y), com x = 2 cos θ e y = 2 sen θ; φ (B) é, então, a circunferência de centro na origem e raio 2.

φ transforma a reta ρ = 2 na

circunferência x = 2 cos θ, y = 2 sen θ

b) Fixado ρ em ]0, 2], quando θ varia de 0 a 2π , o ponto (ρ cos θ, sen θ) descreve a circunferência de raio ρ e centro na origem. A φ transforma, então, o retângulo 0 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π no círculo de raio 2 e centro na origem. Observe que φ (θ, 0) = (0, 0) para 0 ≤ θ ≤ 2π.

 

φ transforma o retângulo 0 ≤ θ ≤ 2π,

0 ≤ 2 2 ρ ≤ 2, no círculo x + y ≤ 4

Seja 2 2 φ : Ω ⊂ ℝ → ℝ dada por (x, y) = φ (u, v) e seja (u v , v ) ∈ Ω. Fixado ,

0 0 0

podemos considerar a curva, no parâmetro u, dada por

 

Referir-nos-emos a ① como curva v constante 0-. Do mesmo modo, podemos considerar a curva u0-constante: v ∞ φ (u0, v).

 

Quando (u0, v) varia em Ω, φ (u0, v) descreve a curva u0-constante. Quando (u, v0) varia em Ω, φ (u, v0) descreve a curva v0-constante.

■

EXEMPLO 3. Seja (x, y) = φ (u, v) dada por

 

com ( 2 u, v ) ∈ ℝ.

a) Desenhe as curvas v = 1 constante e u = 1 constante. b) Desenhe a imagem de φ.

Solução

a 2 ) Para v = 1, ( x, y ) = ( u, u + 1). Quando o ponto (u, 1) descreve a reta v = 1, (x, y) = ( 2 2 2 u , u + 1) descreve a parábola y = x + 1. Para u = 1, ( x, y ) = (1, 1 + v). Quando (1, v) descreve a reta 2 u = 1 o ponto ( x, y ) descreve a semirreta {(1, y ) ∈ ℝ | y ≥ 1}.

b 2 2 ) Para cada k constante, φ transforma a reta v = k na parábola y = x + k. Assim, a imagem de 2 φ é o conjunto de todos ( x, y ) tais que y ≥ x.

 

φ 2 transforma o plano uv no conjunto de todos ( x, y ) tais que y ≥ x

■

EXEMPLO 4. Considere a transformação (u, v) = φ (x, y) dada por

 

com 1 ≤ x + y ≤ 2, x ≥ 0 e y ≥ 0. Desenhe a imagem de φ.

Solução

Observamos, inicialmente, que para cada k, com 1 ≤ k ≤ 2, φ transforma o segmento x + y = k, x ≥ 0 e y ≥ 0, no segmento de extremidades (−k, k) e (k, k).

 

A imagem de φ é, então, o trapézio de vértices (−1, 1), (1, 1), (2, 2) e (−2, 2).

 

Exercícios 1.1

1. Considere a transformação (x, y) = φ (θ, ρ) dada por x = ρ cos θ e y = ρ sen θ.

Desenhe o conjunto φ (B) onde B é o retângulo 1 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π.

2. 2 2 Considere a transformação φ de ℝ em ℝ dada por x = u + v e y = u − v.

Desenhe φ (B)

a) sendo B a reta v = 0.

b) sendo B o quadrado 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1.

3. 2 2 Mostre que a transformação φ do exercício anterior transforma o círculo u + v

≤ 2 2 2 2 r no círculo x + y ≤ 2 r.

4. 2 3 Seja f a transformação de ℝ em ℝ dada por (x, y, z) = (u + v, u, v). Mostre

que f transforma o plano uv no plano x − y − z = 0.

5. Seja f (u, v) = (u, v, 1 − u − v), com u ≥ 0, v ≥ 0 e u + v ≤ 1. Desenhe a imagem

de f.

6. Seja σ (u, v) = (x, y, z), com x = u cos v, y = u sen v e z = u.

a) Mostre que a transformação σ transforma a reta u = u (u = 0 constante) 1 1

numa circunferência. Desenhe tal circunferência no caso .

b) Mostre que σ transforma a reta v = v 1 (v1 constante) numa reta (no espaço

xyz) passando pela origem.

c) Desenhe σ (B) onde B é o retângulo 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 2π.

7. 2 Seja σ ( u, v ) = ( x, y, z ), com x = u cos v , y = u sen v e z = u. Mostre que σ

transforma a faixa 2 2 u ≥ 0, 0 ≤ v ≤ 2π, no paraboloide z = x + y.

8. Desenhe a imagem de σ (u, v) = (cos v, sen v, u), com 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 2π.

9. Desenhe a imagem de

10. Seja σ (θ, ρ) = (2 ρ cos θ, ρ sen θ). Mostre que σ transforma a reta ρ = 1 numa

elipse. Desenhe tal elipse.

11. Seja σ a transformação do Exercício 10. Desenhe σ (B) onde B é o retângulo 0

≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π.

12. Seja σ(u, v, w) = (u cos v, u sen v, w), 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2π e 0 ≤ w ≤ 1.

Desenhe a imagem de σ.

13. Seja σ a transformação do exercício anterior. Verifique que σ transforma o

retângulo 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2π e w = 1, em um círculo. Desenhe tal círculo.

14. (Coordenadas esféricas) Seja P = (x, y, z) e considere a terna (θ, ρ, φ) onde θ é

o ângulo entre o semieixo positivo Ox e o vetor = (x, y, 0), ρ o comprimento do vetor e φ o ângulo entre o semieixo positivo Oz e o vetor

. Os números θ, ρ e φ são as coordenadas esféricas do ponto P. Verifique

 

que as coordenadas esféricas (θ, ρ, φ) relacionam-se com as cartesianas do seguinte modo:

 

15. Considere a transformação σ (θ, ρ, φ) = (x, y, z) onde x = ρ sen φ cos θ, y = ρ

sen φ sen θ e z = ρ cos φ.

a) Desenhe σ (B) onde B é o conjunto ρ = ρ 1 (ρ1 > 0 constante), 0 ≤ θ ≤ 2π e 0

≤ φ ≤ π.

b) Desenhe σ (B) onde B é o paralelepípedo 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ 2π e 0 ≤ φ ≤ π. 1.2. CAMPO VETORIAL