A5.6 Cálculo de integrais definidas

Assim, o valor máximo da função ocorre para x = 1,5 e y = 1,5.

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Atenção. É indispensável a palavra given após as estimativas e antes das restrições.

EXEMPLO 4. Resolva o sistema

Solução

Inicialmente, observamos que este sistema admite quatro soluções (veja o Vol. 2, 5.ª ed.). Vamos apenas relembrar como se determina a solução próxima de (2, 1). Digite:

x := 2 y := 1(estimativas)

given

x2 + y = 3

x 2 2 + 2 · x · y + 5 · y = 4

Assim, x = 1,6514 e y = 0,2727 é a solução, com quatro casas decimais, que está próxima de (2, 1). (Caso queira mais casas decimais, clique ao lado de y e, em seguida, na barra de ferramentas, clique em Format, escolha a opção Result, escolha o número de casas decimais e clique em OK.) Atenção. O símbolo = que aparece no sistema é o que se obtém pressionando simultaneamente as teclas Ctrl e =.

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A5.6. CÁLCULO DE INTEGRAIS DEFINIDAS

EXEMPLO 1. Calcule

Solução

Primeiro, abra as caixas Calculus e Calculator. Não é preciso digitar sin, pois, para entrar com esta função, basta clicar em sin na caixa Calculator. Vamos então ao cálculo da integral. Marque o lugar na folha onde deseja começar a sua expressão. Na caixa Calculus, clique no símbolo da integral definida. Para entrar com o extremo inferior, clique no placeholder que indica o lugar para o extremo inferior e digite 0; clique no placeholder do extremo superior e digite a. Para entrar com o integrando, clique no placeholder respectivo, clique em sin na caixa Calculator e assim por diante de modo a obter

Aqui só é possível calcular o valor exato, pois não foi dado o valor de a. Para obter o valor exato, na barra de ferramentas abra o menu Symbolics e clique em Simplify (ou utilize a seta na caixa Symbolic; tanto faz, o que muda é apenas a apresentação, como já foi visto anteriormente) para obter

Assim

Atenção. No Mathcad, sen x cos x, tgx, ln x etc. são escritos na seguinte forma: sin(x), cos(x), tan(x), ln(x) etc.

EXEMPLO 2. Calcule o valor exato da integral , onde B é o

triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 1).

Solução

Para calculá-la precisamos transformá-la em uma integral iterada.

Vamos então entrar com a integral na forma iterada e clicar em Simplify no menu Symbolics.

Clicando em Simplify, obtém-se

Veja como ficam os dois exemplos anteriores no Mathcad.

EXEMPLO 3. Calcule , onde B é o conjunto de todos (x, y, z), tais que .

a) Calcule um valor aproximado.

b) Calcule o valor exato.

c) Determine o valor aproximado da expressão obtida em (b) e compare com (a).

Solução

a) Para calculá-la precisamos transformá-la em uma integral iterada. Temos

Por questões de simetria, temos

Vamos, agora, para o Mathcad.

Pressionando a tecla =, obtemos o valor aproximado 0,10262 e, portanto,

b) Vamos, agora, ao cálculo do valor exato. Fica a seu cargo verificar o que acontece

se pedir ao Mathcad o valor exato da integral na forma iterada acima. Você irá

perceber que neste caso vamos precisar dar uma “mãozinha” para o Mathcad.

Fazendo a mudança de variáveis para coordenadas esféricas, resulta, como visto no

exemplo mencionado,