6 Integrais de linha

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INTEGRAIS DE LINHA

 

6.1. INTEGRAL DE UM CAMPO VETORIAL SOBRE UMA

CURVA

Suponhamos que : Ω 3 3 ⊂ ℝ → ℝ seja um campo de forças definido no aberto Ω e que uma partícula descreva um movimento em Ω com função de posição γ : [a, b] → Ω (γ (t) é a posição da partícula no instante t). Se for constante e a imagem de γ um segmento, o trabalho τ realizado por de γ (a) até γ (b) é, por definição, o produto escalar de pelo deslocamento γ (b) − γ (a):

 

Suponhamos, agora, que e γ sejam quaisquer, com contínuo e γ de classe 1 C. Queremos definir o trabalho realizado por de γ (a) até γ (b). Seja P : a = t0 < t1 < t2 < … < ti − 1 < ti … < tn = b uma partição de [a, b], com máx Δti suficientemente pequeno. (Lembramos que máx Δt i é o maior dos números Δti = ti − ti −1, i = 1, 2, …, n.)

 

Tendo em vista as hipóteses anteriores, é razoável esperar que a soma

 

seja uma boa aproximação para o trabalho τ realizado por de γ (a) até γ (b) e que esta aproximação seja tanto melhor quanto menor for máx Δti. Por outro lado,

 

e daí

 

Como a função (γ (t)) · γ' (t) é integrável em [a, b], pois é contínua neste intervalo, segue que

Nada mais natural, então, do que definir o trabalho τ realizado por de γ (a) até γ (b) por

 

onde · d γ é uma notação para indicar a integral (Pode ser

provado que ① tende a esta integral quando máx Δti tende a zero.)

Consideremos, agora, um campo vetorial contínuo qualquer : Ω ⊂ ℝn → ℝn, Ω aberto, e uma curva γ : [ 1 a, b ] → Ω, de classe C. Definimos a integral de linha de sobre γ por

 

É usual a notação · d para a integral de linha de sobre γ, onde (t) =γ

(t).

EXEMPLO 1. Calcule

 

Solução

 

Temos:

e

γ'(t) = (1, 2t).

Assim,

 

Portanto,

 

(Observe que 3 t + 2 t é uma função ímpar.)

 

Se for imaginado como um campo de forças, o trabalho realizado por de γ (−1) até γ (1) é zero.

■

EXEMPLO 2. Calcule sendo

γ (t) = (cos t, sen t), 0 ≤ t ≤ 2π,

e

Solução

 

Portanto,

 

EXEMPLO 3. 3 ( Relação entre trabalho e energia cinética .) Suponha : Ω ⊂ ℝ →

ℝ3 um campo de forças contínuo. Sob a ação da força resultante uma partícula de massa m desloca-se de A até B, sendo sua trajetória descrita pela curva γ : [a, b] → Ω, de classe 1 C, com γ (a) = A e γ (b) = B. (γ (t) é a posição da partícula no instante t.) Sejam vA e vB as velocidades escalares nos instantes a e b, respectivamente. Prove que

 

isto é: o trabalho realizado pela resultante no deslocamento de A até B é igual à variação na energia cinética da partícula.

Solução

 

A força que age sobre a partícula no instante t é (γ (t)); pela lei de Newton

Temos, então:

 

 

ou seja,

 

De

 

resulta

 

Segue que

 

Portanto,

 

Exercícios 6.1

1. Calcule sendo dados:

 

2. 2 2 Seja : ℝ → ℝ um campo vetorial contínuo tal que, para todo (x, y), (x,

y 2 ) é paralelo ao vetor x + y . Calcule , onde γ: [ a, b ] → ℝ é uma

curva de classe 1 C, cuja imagem está contida na circunferência de centro na origem e raio r > 0. Interprete geometricamente.

3. Uma partícula move-se no plano de modo que no instante t sua posição é dada

por γ ( 2 t ) = ( t, t). Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças (x, y) = (x + y) + (x − y) no deslocamento da partícula de γ (0) até γ (1).

4. Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por

Calcule o trabalho realizado por no

deslocamento da partícula de γ (a) até γ (b), sendo dados

a) γ (t) = (cos t, sen t, t), a = 0 e b = 2π b) γ t) = (2t + 1, t − 1, t), a = 1 e b = 2 c) γ t) = (cos t, 0, sen t), a = 0 e b = 2π