6.3 Mudança de parâmetro

9. Calcule dx + ydy + dz onde γ é a interseção do plano y = x com a superfície z

= 2 2 x + y, z ≤ 2, sendo o sentido de percurso do ponto (−1, − 1, 2) para o ponto (1, 1, 2).

10. 2 Calcule dx + dy + dz onde γ é a interseção entre as superfícies y = x e z = 2

− 2 2 x − y, x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≤ 0, sendo o sentido de percurso do ponto (1, 1, 0) para o ponto (0, 0, 2).

11. 2 2 Calcule 2 y dx + z dy + x dz onde γ é a interseção das superfícies x + 4 y = 1

e 2 2 x + z = 1, y ≥ 0 e z ≥ 0, sendo o sentido de percurso do ponto (1, 0, 0) para o ponto (−1, 0, 0).

■

6.3. MUDANÇA DE PARÂMETRO

Sejam γ 1 1 n : [ a, b ] → ℝ e γ 2 n : [ c, d ] → ℝ duas curvas de classe C; suponhamos que exista uma função 1 g : [ c, d ] → ℝ , de classe C, com g' (u) > 0 em ]c, d[ e Im g = [a, b], tal que, para todo u em [c, d],

γ2 (u) = γ1 (g(u))

Dizemos, então, que γ 2 é obtida de γ1 por uma mudança de parâmetro que conserva a orientação.

Observe que se γ2 é obtida de γ1 por uma mudança de parâmetro que conserva a orientação, então γ1 e γ2 têm a mesma imagem e, além disso, de γ'2 (u) = γ'1 (g(u)) g' (u) segue que γ' (u) e γ' (t) = g(u) são paralelos e terão, se não forem nulos, o mesmo 2 1

sentido, pois, g' (u) ≥ 0 em [c, d].

Se a condição “g' (u) > 0 em ]c, d[” for substituída por “g' (u) < 0 em ]c, d[”, então diremos que γ 2 é obtida de γ1 por uma mudança de parâmetro que reverte a orientação. Observe que, neste caso, as velocidades γ' 2 (u) e γ'1 (t), t = g (u) são paralelas e com sentido contrário.

Teorema. Seja um campo vetorial contínuo no aberto Ω ⊂ ℝn e sejam γ : 1

[ 1 a, b ] → Ω e γ : [ c, d ] → Ω duas curvas de classe C.

2

a) Se γ2 for obtida de γ1 por uma mudança de parâmetro que conserva a orientação, então

b) Se γ 2 for obtida de γ1 por uma mudança de parâmetro que reverte a orientação, então Demonstração

a 1 ) γ ( u ) = γ ( g ( u )) em [ c, d ], onde g é de classe C em [c, d], a imagem de g é

2 1

[a, b] e g' (u) > 0 em ]c, d[. Observe que g é estritamente crescente em [c, d] e, tendo em vista que Im g = [a, b], resulta g (c) = a e g (d) = b. Então, fazendo a mudança de variável t = g (u), vem:

b) Fica a cargo do leitor. ■

Exercícios 6.3

1. 2 Seja um campo vetorial contínuo em ℝ. Justifique as igualdades.

2. Seja um campo vetorial contínuo em Ω e sejam γ : [a, b] → Ω e γ : [c, d] → 1 2

Ω duas curvas quaisquer de classe 1 C, tais que Im γ = Im γ . A afirmação

1 2

é falsa ou verdadeira? Justifique.