7.7 Conjunto simplesmente conexo

6. 2 Seja Ω um aberto em ℝ e suponha que Ω seja estrelado. (Dizemos que Ω é

estrelado se existir (x , y ) Ω tal que, para todo (x y) Ω, o segmento de 0 0 ∈ , ∈ extremidades (x , y ) e (x, y) esteja contido em Ω.) Seja = P + Q de 0 0

1

classe C em Ω. Prove que se em Ω, então será conservativo.

(Sugestão: Proceda como no Exercício 5.)

7.7. CONJUNTO SIMPLESMENTE CONEXO

Sejam Ω um aberto em ℝn e [ a, b ] um intervalo em ℝ. Para cada s ∈ [0, 1], seja γs uma curva fechada definida em [a, b], com imagem contida em Ω e tal que a imagem de γ seja um ponto P de Ω. Podemos, então, olhar para a família γs como uma 1

“deformação” de γ 0 a P.

EXEMPLO 1. Para cada s ∈ [0, 1], seja γs definida em [0, 2π] e dada por γs (t) = ((1 − s) cos t, (1 − s) sen t). Temos γ 0 (t) = (cos t, sen t) e γ1 (t) = (0, 0), com t em [0, 2π]. Quando s varia em [ 0, 1 ], a família γs representa uma “deformação” de γ 0 à origem. Sugerimos ao leitor desenhar as curvas γs.

■

EXEMPLO 2. Para cada s ∈ [0, 1], seja γs definida em [0, 2π] e dada por γs (t) = (1 −s) (cos t, sen t, 3). Quando s varia em [0, 1], a família γs representa uma “deformação” de γ 0 à origem.

EXEMPLO 3. Para cada s ∈ [ 0, 1 ], seja γs definida em [ 0, 2π] e dada por γs = (t) s (2, 2) + (1 − s) (cos t, sen t). Quando s varia em [0, 1], a família γs representa uma deformação de γ0 (t) = (cos t, sen t) ao ponto (2, 2). Sugerimos ao leitor desenhar as curvas γs.

Damos, a seguir, a definição de conjunto simplesmente conexo.

Definição. Seja Ω um aberto de ℝn, conexo por caminhos. Dizemos que é Ω

simplesmente conexo se, para toda curva fechada contínua γ : [ a, b ] → Ω, existir

uma família γs, s ∈ [ 0, 1], de curvas fechadas com γs : [ a, b ] → Ω, tais que

(i)γ 0 = γ

(ii)H (s, t) = γs (t) é contínua em [0, 1] X [a, b]

(iii) a imagem de γ é um ponto de Ω. 1

Intuitivamente, dizer que o aberto Ω de ℝn é simplesmente conexo significa dizer que Ω é conexo por caminhos e que toda curva fechada contínua em Ω pode ser “deformada com continuidade” a um ponto de Ω, sem sair de Ω.

EXEMPLO 4. O ℝn é simplesmente conexo. De fato, ℝn é conexo por caminhos e se γ : [ a, b ] → ℝn é uma curva contínua fechada, tomando-se γs (t) = (1 − s) γ (t), com s ∈ [ 0, 1 ] e t ∈ [ a, b ], tem-se:

(i) γ0 =γ

(ii) H (s, t) = (1 − s) γ(t), 0 ≤ s ≤ 1 e a ≤ t ≤ b, é contínua

(iii) γ = (t) , para todo t em [ a, b ]. ( = (0, 0, …, 0) é o vetor nulo do ℝn.) 1

■

EXEMPLO 5. Todo aberto Ω ⊂ ℝn, com Ω estrelado, é simplesmente conexo. (Dizemos que Ω é estrelado se existir X0 ∈ Ω tal que, para todo X ∈ Ω, o segmento X 0X esteja contido em Ω.) De fato, Ω é conexo por caminhos (por quê?) e se γ : [ a, b ] → ℝn for uma curva contínua fechada contida em Ω, tomando-se

γs (t) = (1 − s) γ (t) + sX0

tem-se:

(i) γ =γ 0

(ii) H (s, t) = (1 − s) γ (t) + sX , 0 ≤ s ≤ 1 e a ≤ t ≤ b, é contínua 0

(iii) γ1(t) = X0 para todo t ∈ [ a, b ].

Assim, toda curva contínua fechada contida em Ω pode ser deformada com continuidade ao ponto X0; logo, Ω é simplesmente conexo.

■

Vamos, agora, enunciar, sem demonstração (para demonstração veja Elon Lages Lima — Curso de Análise — Vol. 2), o seguinte importante teorema.

Teorema 1 . Seja : Ω ⊂ ℝ → ℝ ( n = 2, 3) um campo vetorial de classe C

n n

no aberto Ω. Nestas condições, se Ω for simplesmente conexo e rot = , então

será conservativo.

Com auxílio do teorema acima, vamos mostrar que Ω= 2 ℝ − {(0, 0)} não é simplesmente conexo. Seja

Temos:

rot = em Ω

e

onde γ(t) = (cos t, sen t), t ∈ [0, 2π]. (Verifique.) Assim, rot = em Ω e não é conservativo; logo Ω = 2 ℝ − {(0, 0)} não pode ser simplesmente conexo.

Pode ser provado que Ω = 3 ℝ − {(0, 0, 0)} é simplesmente conexo. (É razoável tal afirmação? Por quê?)

Exercícios 7.7

1. Prove que o conjunto dado é simplesmente conexo.

a 2 2 ) Ω = ℝ − {( x , 0) ∈ ℝ | x ≥ 0} b 3 3 ) Ω = ℝ − {(0, 0, z ) ∈ ℝ | z ≥ 0}

(Sugestão: Verifique que o conjunto dado é estrelado.)

2. Utilizando o teorema da seção e o campo vetorial

prove que Ω = 3 3 ℝ − {(0, 0, z ) ∈ | z ∈ ℝ} não é simplesmente conexo.