Um Curso de Cálculo, Volume 3
A3.2 Interpretação para o divergente
demonstra-se do mesmo modo que
onde o divergente é calculado em relação às variáveis x e y, isto é,
A3.2. INTERPRETAÇÃO PARA O DIVERGENTE
Sejam
e
como na seção anterior. Para cada 2 2 t fixo, ① é uma transformação de ℝ em ℝ. Além das hipóteses da seção anterior, vamos supor que ① é injetora.
Seja 2 B t 0 um compacto de ℝ com interior não vazio e fronteira de conteúdo nulo. As partículas do fluido que no instante t Bt 0 ocupam a região t 0 , no instante , ocuparão a região Bt.
Indiquemos por V (t) a área da região ocupada, no instante t, pelas partículas que, no instante t0, ocupam a região Bt0. Assim, para todo t ∈ ℝ,
Fazendo a mudança de variáveis
e lembrando que o determinante jacobiano é sempre estritamente positivo (veja seção anterior), obtemos
ou seja,
onde 1 g ( t, u, v ) é a função introduzida na seção anterior. Pelo fato de g ser de classe C
resulta