5.3 Uma condição suficiente para integrabilidade de uma função sobre um conjunto limitado

Os subconjuntos do 3 ℝ que vão interessar ao curso são aqueles cuja fronteira é um conjunto D da forma acima descrita.

5.3. UMA CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA

INTEGRABILIDADE DE UMA FUNÇÃO SOBRE UM

CONJUNTO LIMITADO

O teorema da Seção 2.4 estende-se sem nenhuma modificação para integrais triplas.

 

Teorema 3 . Seja B ⊂ ℝ um conjunto limitado e seja f : B → ℝ uma função

contínua e limitada. Nestas condições se a fronteira de B tiver conteúdo nulo,

então f será integrável em B.

 

Fica a cargo do leitor estender para as integrais triplas as propriedades relacionadas na Seção 2.5.

5.4. REDUÇÃO DO CÁLCULO DE UMA INTEGRAL

TRIPLA A UMA INTEGRAL DUPLA

Seja 2 K ⊂ ℝ um conjunto compacto com fronteira de conteúdo nulo e sejam g (x, y) e h (x, y) duas funções a valores reais contínuas em K e tais que, para todo (x, y) ∈ K, g (x, y) ≤ h (x, y). Seja B o conjunto de todos (x, y, z) tais que g (x, y) ≤ z ≤ h (x, y), (x, y) ∈ K. Observe que a fronteira de B tem conteúdo nulo (por quê?). Na figura seguinte, supusemos K um retângulo só para facilitar o desenho.

Seja f (x, y, z) contínua em B. Com procedimento análogo ao adotado nas integrais duplas, prova-se que

 

Com as adaptações devidas temos também:

EXEMPLO 1. Calcule x dx dy dz, onde B é o conjunto de todos (x, y, z) tais que

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x e 0 ≤ z ≤ x + y.

Solução

B 3 = {( x, y, z ) ∈ ℝ | 0 ≤ z ≤ x + y, (x, y) K}

onde K é o triângulo 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x.

 

Como

 

resulta

 

De

 

segue

 

ou seja,

Seja 3 B um subconjunto do ℝ, limitado e com fronteira de conteúdo nulo. Definimos o volume de B por

 

Fica a cargo do leitor justificar tal definição.

EXEMPLO 2. 2 2 Calcule o volume do conjunto de todos ( x, y, z ) tais que x + y ≤ z ≤ 2 − 2 2 x − y.

Solução

Primeiro vamos determinar a interseção dos gráficos 2 2 2 2 z = x + y e z = 2 − x − y.

Temos:

x2 2 2 2 2 2 + y = 2 − x − y ⇔ x + y = 1.

A interseção é, então, a circunferência de centro (0, 0, 1), raio 1 e contida no plano z = 1. Sendo B o conjunto dado, temos:

B 3 2 2 2 2 = {( x, y, z ) ∈ ℝ | x + y ≤ z ≤ 2 − x − y, (x, y) ∈ K}

onde 2 2 K é o círculo x + y ≤ 1. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto B.) Assim,

 

ou seja,

 

Passando para coordenadas polares Portanto, o volume de B é unidades de volume.

■

Seja 3 B ⊂ ℝ, B compacto e com fronteira de conteúdo nulo. Imaginemos B como um sólido. Por uma função densidade volumétrica de massa associada a B entendemos uma função δ: B → ℝ, contínua e positiva, tal que, para todo B1 ⊂ B,

 

desde que a integral exista. Assim, se δ for uma função densidade volumétrica de massa associada a B, então

 

Se δ (x, y, z) for constante e igual a k, então a massa de B será igual ao produto de k pelo volume de B. Diremos, neste caso, que o sólido é homogêneo. Caso contrário, dizemos que o sólido é não homogêneo.

EXEMPLO 3. 2 2 Calcule a massa do cilindro x + y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1, admitindo que a densidade seja dada por 2 δ ( x, y, z ) = x.

Solução

A massa M do cilindro B dado é

 

Temos

 

onde 2 2 K é o círculo x + y ≤ 1. Como

resulta

 

Passando para coordenadas polares, vem:

 

Portanto, a massa do cilindro é unidades de massa.

■

EXEMPLO 4. Calcule o volume do conjunto B de todos (x, y, z) tais que

x 2 ≤ z ≤ 1 − y, x 0 ≥ e y ≥ 0.

Solução

Inicialmente, vamos determinar a projeção no plano xy da interseção do plano z = x com a superfície 2 z = 1 − y. Os pontos (x, y) desta projeção são as soluções da equação

x 2 = 1 − y

onde K é o conjunto

 

Assim,

Como

 

 

resulta

 

EXEMPLO 5. Calcule o volume do conjunto B de todos (x, y, z) tais que

z 2 2 2 2 2 ≥ x + y e x + y + z ≤ 2.

Solução

Inicialmente, vamos determinar a projeção no plano xy da interseção das superfícies

z 2 2 2 2 2 = x + y e x + y + z = 2.

Os pontos (x, y) desta projeção são as soluções da equação

x2 2 2 2 2 + y + ( x + y ) = 2

ou seja

 

e, portanto,

x2 2 + y = 1.

A figura que apresentamos é a parte do conjunto B contida no 1.º octante.

onde 2 2 K é o círculo x + y ≤ 1. Daí,

 

 

Passando para coordenadas polares vem

 

e, portanto,

 

EXEMPLO 6. Calcule o volume do conjunto B de todos os pontos (x, y, z) tais que

x2 2 + y ≤ z ≤ 2x + 2y − 1.

Solução

Inicialmente, vamos determinar a projeção no plano xy da interseção do paraboloide 2 2 z = x + y com o plano z = 2x + 2y − 1. Os pontos (x, y) desta projeção são as soluções da equação

x 2 2 + y = 2x + 2y − 1

que é equivalente a

( 2 2 x − 1) + ( y − 1) = 1.

A figura que apresentamos a seguir mostra um corte do conjunto B por um plano vertical contendo o eixo z.

 

Temos, então

onde 2 2 K é o círculo ( x − 1) + ( y − 1) ≤ 1. Como

2 2 2 2 2 x + 2 y − 1 − x − y = 1 − ( x − 1) − ( y − 1)

resulta

 

Façamos

 

o que significa que estamos passando para coordenadas polares, com polo no ponto (1, 1).

 

Temos, então,

 

■

Exercícios 5.4

1. Calcule

2. Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)

 

a 2 2 ) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 5 − x − 3 y. b 2 2 ) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x e 0 ≤ z ≤ x + y. c 2 2 ) x + y ≤ z ≤ 4.

d 2 2 ) x + 4 y ≤ z ≤ 1.

e 2 2 2 2 2 ) x + y ≤ 4 e x + y + z ≤ 9.

f 2 2 2 ) x + 4 y + 9 z ≤ 1.

 

h 2 2 ) x + y ≤ z ≤ 4x + 2y.

i 2 2 2 2 ) x + y ≤ 1 e x + z ≤ 1.

l 2 2 2 2 2 2 2 ) ( x − a ) + y ≤ a , x + y + z ≤ 4 a, z ≥ 0 (a > 0). m 2 2 2 2 2 2 ) x + y ≤ a e x + z ≤ a (a > 0).

o 2 ) x ≤ z ≤ 1 − y e y ≥ 0.

p 2 2 2 2 ) x + 2 y ≤ z ≤ 2 a − x (a > 0). q 2 2 2 2 2 ) x + y + ( z − 1) ≤ 1 e z ≤ x + y. r 2 2 2 2 2 ) 4 x + 9 y + z ≤ 4 e 4 x + 9 y ≤ 1.

3. Calcule a massa do cubo 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1, cuja densidade no

ponto (x, y, z) é a soma das coordenadas.

4. Calcule a massa do sólido x + y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 0, sendo a densidade

dada por (x, y, z) = x + y.

5. 2 2 Calcule a massa do cilindro x + y ≤ 4 e 0 ≤ z ≤ 2, sabendo que a densidade no

ponto (x, y, z) é o dobro da distância do ponto ao plano z = 0.

6. Calcule a massa do cone sendo a densidade no ponto (x, y, z)

proporcional ao quadrado da distância do ponto ao eixo z.

7. 3 Sejam B ⊂ ℝ e f (x, y, z) uma função contínua em B. Seja (x , y , z ) um ponto

0 0 0

interior de B. Para cada natural n, seja B uma bola de centro (x , y , z ) e raio n 0 0 0 r n, com Bn ⊂ B. Suponha que rn tende a zero quando n tende a + ∞. Seja Vn o volume de Bn. Prove que

 

(Sugestão: Utilize o teorema do valor médio para integrais.)

8. 3 Seja B ⊂ ℝ e sejam f e g duas funções contínuas em B. Suponha que, para toda