10.3 Teorema da divergência: continuação

: 3 3 ℝ → ℝ, f : B → ℝ e g : Im σ → ℝ são dados.

0 0

 

10.3. TEOREMA DA DIVERGÊNCIA: CONTINUAÇÃO

O objetivo desta seção é verificar o teorema da divergência para alguns conjuntos B. Faremos isto através de exemplos.

EXEMPLO 1. (Teorema da divergência para paralelepípedos.) Seja B o paralelepípedo a ≤ x ≤ b , a ≤ y ≤ b e a ≤ z ≤ b . Seja = P + Q + R um 1 1 2 2 3 3 campo vetorial de classe 1 C num aberto contendo B e seja σ a fronteira de B, com normal apontando para fora de B. Então

 

Solução

 

Sejam σ e σ as faces: 1 2

onde K1 é o retângulo a1 ≤ x ≤ b1, a2 ≤ y ≤ b2. Temos:

 

Por outro lado,

 

Daí,

 

Procedendo-se de forma análoga com as outras faces, conclui-se que

 

O próximo exemplo mostra que o teorema da divergência verifica-se para todo compacto B que pode ser decomposto em um número finito de paralelepípedos.

EXEMPLO 2. Sejam os paralelepípedos

B 3 = {( x, y, z ) ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b , a ≤ y ≤ b , a ≤ z ≤ b }

1 1 1 2 2 3 3

e

B2 3 = {( x , y , z ) ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b , b ≤ y ≤ β , a ≤ z ≤ β }

1 1 2 2 3 3 onde β < b . Seja B = B B e seja σ a fronteira de B, com normal apontando para 3 3 1 ⊂ 2

fora de 1 B . Seja = P + Q + R um campo vetorial de classe C num aberto contendo B. Mostre que

 

Solução

Seja σ a fronteira de B , com normal apontando para fora de B . Pelo teorema 1 1 1 da divergência para paralelepípedos, tem-se:

 

Seja σ a fronteira de B , com normal apontando para fora de B . Tem-se: 2 2 2

Consideremos a face hachurada HIJL. Como

 

resulta

 

Portanto,

 

pois

 

EXEMPLO 3. (Teorema da divergência para tetraedro.) Seja B o tetraedro ax + by + cz ≤ d, x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 0, onde a, b, c e d são reais estritamente positivos dados. Seja

= 1 P + Q + R de classe C num aberto contendo B. Então

 

onde σ é a fronteira de B, com normal apontando para fora de B.

Solução

Sejam σ , σ , σ e σ as faces OMN, ONJ, OMJ e MNJ, respectivamente. Sejam , 1 2 3 4

, e as normais às faces acima. Temos:

 

Temos, também:

e

 

onde K1, K2 e K3 são, respectivamente, os triângulos OMN, ONJ e OMJ. Para a face MNJ podemos, também, considerar as parametrizações

 

e

(Veja Exercício 14 da Seção 10.1.)

Temos:

 

Vamos mostrar que

 

Temos:

 

Por outro lado,

 

De ② e ③ resulta ①. Deixamos a seu cargo verificar que e

 

(Sugestão: Em ④ trabalhe com a parametrização σ e em ⑤ com σ .) 5 6

De ①, ④ e ⑤ resulta o que queríamos provar.

■

Fica a seu cargo pensar na demonstração do teorema da divergência para o caso em que B pode ser decomposto, por meio de secções planas, em um número finito de paralelepípedos e tetraedros. (Você pode admitir o teorema da divergência para um tetraedro qualquer.)

Nosso objetivo, a seguir, é destacar uma classe bastante ampla de compactos B para os quais o teorema da divergência se verifica.

Sejam

z = f (x, y), (x, y) ∈ Ω 1,

y = g (x,. z), (x, z) ∈ Ω2,

e

x = h (y, z), (y, z) ∈ Ω 3,

funções de classe 1 C nos abertos Ω , Ω e Ω . Consideremos as parametrizações dos

1 2 3

gráficos das funções acima:

Seja 3 B ⊂ ℝ um conjunto compacto. Dizemos que B é um compacto de Gauss se sua fronteira puder ser decomposta em duas partes F0 e F1 satisfazendo as seguintes condições:

(i) F0 é um conjunto fechado contido na reunião de um número finito de imagens de

curvas de classe 1 C definidas em intervalos [a, b];

(ii) para cada ponto X ∈ F existe uma bola aberta V de centro X tal que a 1

interseção F1 ∩ V admite uma parametrização de um dos tipos (I), (II) ou (III); além disso, se tal parametrização for, por exemplo, do tipo (I) deveremos ter:

“para todo (x, y, z) ∈ ∩ V, z < f (x, y)”

ou

“para todo (x, y, z) ∈ ∩ V, z > f (x, y)”

Esta última condição significa que ∩ V está de um mesmo lado de F1 ∩ V. (Lembrese de que indica o conjunto dos pontos interiores de B.)

Pode ser provado (veja referência bibliográfica [15]) que o teorema da divergência se verifica para todo compacto de Gauss.

Por exemplo, todo tetraedro B é um compacto de Gauss. Neste caso, F0 é a reunião das arestas e F1 a reunião das faces menos F0. Cada “pedacinho” de F1 admite uma parametrização de um dos tipos (I), (II) ou (III). A condição de estar de um mesmo lado fica a seu cargo verificar.

Cones, esferas, cilindros, pirâmides são outros exemplos de compactos de Gauss. (Verifique.)