9 Área e integral de superfície

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ÁREA E INTEGRAL DE SUPERFÍCIE

9.1. SUPERFÍCIES

Por uma 3 superfície parametrizada σ entendemos uma transformação σ: A → ℝ,

onde 2 A é um subconjunto do ℝ. Supondo que as componentes de σ sejam dadas por x = x (u, v), y = y (u, v) e z = z (u, v), então σ (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v)).

Escreveremos com frequência

para indicar a superfície parametrizada σ dada por σ (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v)).

O lugar geométrico descrito por σ (u, v), quando (u, v) percorre A, é a imagem de σ:

Im 2 σ = {σ ( u, v ) ∈ ℝ | (u, v) ∈ A }.

É comum referir-se a ① como uma parametrização do conjunto Im σ.

Observação. No que segue, adotaremos, por conveniência, a notação σ tanto para indicar uma superfície parametrizada como sua imagem. Muitas vezes, para simplificar, referir-nosemos a uma superfície parametrizada simplesmente como uma superfície.

EXEMPLO 1. 2 3 σ: ℝ → ℝ dada por

é uma superfície. Sua imagem é um plano em 3 ℝ passando pelo ponto (0, 1, 2) e paralelo aos vetores (1, 2, 1) e (2, −1, 1):

EXEMPLO 2. (x, y, z) = σ (u, v) dada por

é uma superfície parametrizada. A imagem de σ é a superfície cilíndrica obtida pela rotação em torno do eixo 3 z do segmento {(1, 0, z ) ∈ ℝ | 0 ≤ z ≤ 1}.

Observe que para cada v fixo, 0 ≤ v ≤ 1, a imagem da curva u ↦ σ (u, v) é uma circunferência de raio 1, com centro no eixo Oz, e situada no plano z = v.

■

EXEMPLO 3. 2 2 2 2 Parametrize a superfície esférica x + y + z = r (r > 0).

Solução

O que queremos é determinar uma superfície parametrizada σ, cuja imagem é o conjunto de todos ( 2 2 2 2 x, y, z ) tais que x + y + z = r. Vamos utilizar coordenadas esféricas.

Quando (θ, φ) varia no retângulo 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π, o ponto (x, y, z) descreve a superfície esférica 2 2 2 2 x + y + z = r.

■

EXEMPLO 4. (Faixa de Möbius.) Considere a superfície (x, y, z) = σ (u, v), − 1 ≤ v ≤ 1 e 0 ≤ u ≤ 2π, dada da seguinte forma: para cada u fixo, (x, y, z) descreve o segmento de comprimento 2, centro no ponto (cos u, sen u, 1), localizado no plano determinado pelo eixo z e pelo ponto (cos u, sen u, 0) e que forma com o eixo z um ângulo .

Expresse (x, y, z) em função de (u, v).

Solução

O segmento AB tem a seguinte parametrização:

(x, y, z) = P + v (B − P), −1 ≤ v ≤ 1,

ou seja,

Assim, σ é dada por

Sugerimos ao leitor construir uma faixa de Möbius utilizando uma fita de papel.

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Exercícios 9.1

1. Desenhe a imagem da superfície parametrizada dada.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

2. 3 2 2 Seja A = {(0, y, z ) ∈ ℝ | z + ( y − 2) = 1} e seja B o conjunto do espaço

obtido pela rotação em torno do eixo z do conjunto A. Determine uma parametrização para B.

(Sugestão: Parametrize B utilizando os parâmetros u e v conforme figura seguinte.)