5.7 Centro de massa e momento de inércia

onde Kρθ é o conjunto

 

 

Assim

 

Portanto

 

5.7. CENTRO DE MASSA E MOMENTO DE INÉRCIA

Imaginemos uma partícula P, de massa m, girando com velocidade angular w, em torno de um eixo fixo. Suponhamos que a distância de P ao eixo seja r. A velocidade v da partícula será, então, v = wr e sua energia cinética será

 

onde 2 I = mr é, por definição, o momento de inércia de P em relação ao eixo.

Consideremos, agora, um eixo fixo e um sistema de n partículas de massas m (i = i 1, 2, …, n); seja ri a distância da i-ésima partícula ao eixo. Definimos o momento de inércia do sistema, em relação ao eixo, por:

Observe que se as partículas do sistema acima giram, em torno do eixo fixo, com uma mesma velocidade angular w, então a energia cinética do sistema será

 

Consideremos, finalmente, um corpo B com densidade volumétrica δ (x, y, z). Definimos o momento de inércia de B em relação a um eixo fixo por

 

onde r = r (x, y, z) é a distância do ponto (x, y, z) ao eixo.

EXEMPLO 1. Calcule o momento de inércia de uma esfera homogênea, de raio R, em relação a um eixo passando pelo seu centro.

Solução

Consideremos a esfera com centro na origem e vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo z. A distância r do ponto (x, y, z) ao eixo é Como estamos supondo a esfera homogênea, sua densidade é constante, que suporemos igual a k. Temos

 

onde 2 2 2 2 B é a esfera x + y + z ≤ R. Passando para coordenadas esféricas obtemos:

 

onde Bθφφ é o paralelepípedo 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ρ ≤ R e 0 ≤ φ ≤ π. (Observe: x = ρ sen φ cos 2 2 2 2 θ e y = ρ sen φ sen θ ⇒ x + y = ρ sen φ.) Segue que

Como

 

 

resulta

 

onde é a massa da esfera.

■

Consideremos um corpo B, com função densidade δ (x, y, z). O ponto (x , y , z ) c c c onde

 

denomina-se centro de massa de B.

EXEMPLO 2. 2 2 Calcule o centro de massa do corpo homogêneo x + y ≤ z ≤ 1.

Solução

Precisamos calcular apenas z , pois, tendo em vista a simetria do corpo, em relação c

ao eixo Oz, x y c = c = 0. Temos

 

onde 2 2 2 B é o conjunto x + y ≤ z ≤ 1 e k ( k constante) a densidade. Seja A o círculo x + y 2 ≤ 1.

Temos

 

Passando para polares obtemos:

 

Por outro lado,

 

ou seja,

 

Assim,

 

Portanto, o centro de massa é

■

Exercícios 5.7

1. Calcule o momento de inércia do corpo homogêneo x + y + z ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 e

z ≥ 0, em relação ao eixo z.

2. Calcule o momento de inércia do cubo homogêneo de aresta L, em relação a um

eixo que contém uma das arestas.

3. Considere o cubo 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1 e suponha que a densidade no

ponto (x, y, z) seja x.

a) Calcule o momento de inércia em relação ao eixo Oz. b) Calcule o centro de massa.

4. 2 2 2 Considere o cilindro homogêneo ( x − a ) + y ≤ a e 0 ≤ z ≤ h.

a) Calcule o momento de inércia em relação à reta x = a e y = 0. b) Calcule o momento de inércia em relação ao eixo Oz.

5. (Teorema de Steiner ou dos eixos paralelos.) Seja I o momento de inércia em cm

relação a um eixo que passa pelo centro de massa de um corpo e I o momento de inércia em relação a um eixo paralelo, a uma distância h. Verifique que I = I 2 + Mh, onde M é a massa do corpo.

cm

6. Aplique o teorema de Steiner ao item b do Exercício 4.

7. 2 2 2 2 Calcule o centro de massa da semiesfera homogênea x + y + z ≤ R e z ≥ 0 (R

> 0).

8. Calcule o momento de inércia de uma esfera homogênea de raio R, em relação a

um eixo cuja distância ao centro seja h.

9. Considere um cone circular reto homogêneo de altura h e raio da base R.

a) Calcule o centro de massa.

b) Calcule o momento de inércia em relação ao seu eixo.

10. Calcule o momento de inércia de um sólido homogêneo com a forma de um

cone circular reto de altura h e raio da base R, em relação a um eixo passando pelo vértice e perpendicular ao eixo do cone.

11. Determine o centro de massa de uma semiesfera, cuja densidade no ponto P é

proporcional à distância de P ao centro.

12. Calcule o momento de inércia de um cone circular reto de altura h, raio da base

R, homogêneo, em relação a um diâmetro de sua base.