Um Curso de Cálculo, Volume 3
A4.5 Injetividade de F em Ω1
Seja R (x, y) a função dada na seção anterior. Então existem r > 0 < e 0 < λ 1 tais,
para todo (x, y) e (s, t) na bola aberta de raio r e centro (0, 0), tem-se
|| R (x, y) − R (s, t) || ≤ λ || (x, y) − (s, t) ||.
A propriedade acima nos diz que R (x, y) é uma contração em Ω , onde Ω é a bola 1 1 aberta de raio r e centro em (0, 0).
A4.5. INJETIVIDADE DE F EM Ω1
Nosso objetivo nesta seção é provar que a função
F (x, y) = (x, y) + R (x, y)
é injetora em Ω1. Isto é, vamos provar que, para todo (x, y) e (s, t) em Ω1, tem-se
(x, y) ≠ (s, t) ⇒ F (x, y) ≠ F (s, t).
De fato,
|| F (x, y) − F (s, t) || = || [(x, y) − (s, t) + [R (x, y) − R (s, t)] || ≥ || (x, y) − (s, t) || − || R (x,
y) − R (s, t) ||.
Da seção anterior,
|| R (x, y) − R (s, t) || ≤ λ || (x, y) − (s, t) ||
onde 0 < λ < 1. Segue que
|| F (x, y) − F (s, t) || ≥ || (x, y) − (s, t) || − λ || (x, y) − (s, t) ||
e, portanto,
|| F (x, y) − F (s, t) || ≥ (1 − λ) || (x, y) − (s, t) ||
Então, para (x, y) ≠ (s, t)