Um Curso de Cálculo, Volume 3
A3.3 Equação da continuidade
e, portanto,
Tendo em vista ⑥ da seção anterior, obtemos
Como t ℝ 0 foi fixado arbitrariamente em ℝ , resulta que, para todo t ∈,
Sejam t 1 < t2, com t1 e t2 ∈ ℝ. Seja Bt2 a região ocupada, no instante t2, pelas partículas que, no instante t 1, ocupam a região Bt . Teremos: 1
(Verifique.)
A3.3. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Consideremos o escoamento bidimensional com campo de velocidade
e com densidade superficial (massa por unidade de área) ρ (t, x, y), com ν e ρ de classe 1 C em ℝ3.
Seja
como na Seção A3.1. Como vimos naquela seção,
e
Para t = t0,
Como na seção anterior as partículas do fluido que no instante t 0 ocupam a região Bt , no instante t, ocuparão a região B . 0 t
Indiquemos por M (t) a massa de fluido que no instante t ocupa a região B . Assim, t para todo t ∈ ℝ,
Fazendo a mudança de variáveis
obtemos
Sendo g (t, u, v) a função introduzida na Seção A3.1, resulta
Pelo “princípio da conservação da massa” M' (t) = 0 para todo t. Por outro lado, a derivada, em relação a t, do integrando é igual a:
onde são calculados em (t, x (t, u, v), y (t, u, v)). Tendo em vista ②, ⑤ e
⑥ da Seção A3.1 e ① desta seção, resulta para t = t0:
onde são calculados em (t , u, v).
0
Deixamos a seu cargo concluir que para todo 2 t e todo ( x, y ) ∈ ℝ,
onde
A Equação ② denomina-se equação da continuidade.