9.3 Área de superfície

a 2 2 ) σ ( u, v ) = ( u, v, u + v), no ponto σ (1, 1). b)

c) σ (u, v) = (2u + v, u − v, 3u + 2v), no ponto σ (0, 0). d 2 ) σ ( u, v ) = ( u − v, u + v2, uv), no ponto σ (1, 1). e)

2. 3 2 1 Seja σ: Ω → ℝ , Ω aberto em ℝ , uma superfície de classe C e seja γ : I → Ω

uma curva de classe 1 C, com γ (t) = (u (t), v (t)). (Observe que γ (t) é um ponto de Ω, para todo t ∈ I.) Seja Γ: I → Im σ a curva dada por Γ (t) = σ (γ (t)). Prove que é ortogonal a Γ' (t). Interprete.

3. 2 3 1 Seja σ: Ω ⊂ ℝ → ℝ , Ω aberto, uma superfície de classe C dada por σ (u, v)

= (x (u, v), y (u, v), z (u, v)). Verifique que

 

9.3. ÁREA DE SUPERFÍCIE

Seja σ: 3 K → ℝ, onde K é um compacto com fronteira de conteúdo nulo e interior não vazio. No que segue suporemos que σ é de classe 1 C em K e regular no interior de K 1 3 . (Dizer que σ é de classe C em K significa que existe uma transformação φ: Ω → ℝ

de classe 1 C no aberto Ω, com K contido em Ω, tal que, para todo (u, v) em K, σ (u, v) = φ (u, v).

σ transforma o retângulo de lados Δu e Δv no “paralelogramo curvilíneo” ABCD contido na imagem de σ. Queremos avaliar a “área” deste “paralelogramo curvilíneo” para Δu e Δv suficientemente pequenos.

A área do paralelogramo determinado pelos vetores é

 

(Observe que este paralelogramo está contido no plano tangente a σ, no ponto σ (u, v).)

Temos:

comprimento do arco AB

e

comprimento do arco AD

A “área” ΔS de ABCD é, então, aproximada pela área do paralelogramo de lados

Nada mais natural, então, do que definir a área de σ por

 

Observe que a integral acima existe, pois é contínua em K e a

fronteira de K tem conteúdo nulo.

EXEMPLO. 2 Calcule a área da superfície σ dada por σ ( u, v ) = ( u, v , 1 − u), u ≥ 0, v ≥ 0 e u + v ≤ 1.

Solução

 

e

 

Temos:

onde K é o triângulo

 

Temos:

 

Façamos a mudança de variável

Como

 

resulta

 

Por outro lado,

 

Portanto, a área de .

 

Observação. .

■

Exercícios 9.3

1. Calcule a área. (Sugerimos ao leitor desenhar a imagem da superfície dada.)

a) σ (u, v) = (u, v, 1 − u − v), u ≥ 0, v ≥ 0 e u + v ≤ 1. b 2 2 ) σ ( u, v ) = ( u, v , 2 − u − v ) , u + v ≤ 1. c 2 2 2 2 ) σ ( u, v ) = ( u, v, u + v ), u + v ≤ 4. d 2 2 ) σ ( u, v ) = ( u, v , 4 − u − v), (u, v) ∈ K, onde K é o conjunto no plano uv

limitado pelo eixo −θ u e pela curva (em coordenadas polares) ρ = e, 0 ≤ θ ≤ π.

e)

f 2 2 ) σ ( u v ) = (cos u, v , sen u ), u + 4 v ≤ 1.

2. 3 2 2 Seja A = {(0, y, z ) ∈ ℝ | z + ( y − 2) = 1}; ache a área da superfície gerada

pela rotação em torno do eixo Oz do conjunto A.

3. 1 Seja f : K → ℝ de classe C no compacto K com fronteira de conteúdo nulo e

interior não vazio. Mostre que a área da superfície z f = (x, y) (isto é, da superfície σ dada por x = u, y = v e z = f (u, v)) é dada pela fórmula

 

4. 2 2 Calcule a área da parte da superfície cilíndrica z + x = 4 que se encontra

dentro do cilindro 2 2 x + y ≤ 4 e acima do plano xy.

5. 2 2 2 Calcule a área da parte da superfície esférica x + y + z = 1 que se encontra

dentro do cone

6. 2 2 Calcule a área da superfície , ( x − 2) + 4 y ≤

1.

7. 2 2 2 Calcule a área da parte da superfície esférica x + y + z = 2 que se encontra

dentro do paraboloide 2 2 z = x + y.

8. 2 2 2 Calcule a área da parte do cone z = x + y que se encontra dentro do cilindro

x2 2 2 2 + y ≤ 2 x , fora do cilindro x + y ≤ 1 e acima do plano xy.

9. 3/2 3/2 Calcule a área da superfície z = x + y,

.

10. 2 2 Calcule a área da , x + y ≤ 2x, x ≥ 1 e y ≥ 0.

11. Calcule a área da parte da superfície

compreendida entre os planos x + y = 1, x + y = 2, x = 0 e y = 0.

12. Calcule a área da parte da superfície z = xy que se encontra dentro do cilindro

x2 2 2 2 + y ≤ 4 e fora do cilindro x + y ≤ 1.

13. Seja K o conjunto do plano xy limitado pelas curvas (em coordenadas polares)

ρ = tg θ, . Calcule a área da superfície

z = xy, (x, y) ∈ K.

14. Seja K o conjunto do plano xy limitado pela curva (em coordenadas polares)

ρ 2= cos 2 θ, . Calcule a área da superfície z = xy, (x, y) ∈ K.

15. 2 2 Calcule a área da parte do paraboloide elíptico z = x + 2 y que se encontra

dentro do cilindro 4 2 2 x + 16 y ≤ 1.

16. 1 Seja f : [ a, b ] → ℝ uma função de classe C, com f (u) ≥ 0 em [a, b]. Considere

a superfície de revolução σ (u, v) = (f (u) cos v, f (u) sen v, u), com a ≤ u ≤ b, 0 ≤ v ≤ 2π. Estabeleça uma fórmula para o cálculo da área de σ. Compare com a fórmula obtida na Seção 13.4 do Vol. 1, 5.ª edição.

17. Estabeleça uma fórmula para o cálculo da área da superfície

, onde a > 0, b > 0 e c > 0 são constantes dadas.

 

18. 3 1 Seja F : Ω ⊂ ℝ → ℝ

, Ω aberto, uma função de classe C tal que . Seja

f : K → ℝ, onde K é um compacto com fronteira de conteúdo nulo e interior não vazio contido em Ω, tal que F (x, y, f (x, y)) = 0 para todo (x, y) ∈ K, isto é, z = f (x, y) é definida implicitamente pela equação F (x, y, z) = 0. Mostre que a área da superfície z = f (x, y) é dada pela fórmula

 

19. 3 Sejam σ: Ω ⊂ ℝ e φ: Ω → ℝ duas superfícies regulares nos abertos Ω ⊂ ℝ

1 2 3

e Ω 1, respectivamente. Suponha que exista uma transformação H: Ω1 → Ω, com H (Ω 1) = Ω, dada por

 

sendo 1 H de classe C, inversível e tal que, para todo (s, t) ∈ Ω ,

1

φ (s, t) = σ(u(s, t), v (s, t)).

Diremos, então, que φ é obtida de σ pela mudança de parâmetros (u, v) = H (s, t). Suponha, então, que φ seja obtida de σ pela mudança de parâmetros (u, v) = H (s, t) = (u (s, t), v (s, t)).

a) Verifique que Imφ = Im σ.

b) Prove que

 

onde

 

é o determinante jacobiano da transformação u u (s, t), v v (s, t).

c) Interprete geometricamente a relação supondo ① supondo

20. 2 3 2 3 Sejam σ: Ω ⊂ ℝ → ℝ e φ: Ω ⊂ ℝ → ℝ duas superfícies regulares, sendo

1

φ obtida de σ pela mudança de parâmetros (u, v) = H (s, t) = (u (s, t), v (s, t)) (veja exercício anterior). Sejam K ⊂ Ω e K1 ⊂ Ω , compactos com fronteira de 1 conteúdo nulo e interior não vazio e tais que . Prove que

 

21. Seja σ(u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v)), (u, v) ∈ K. Mostre que a área de σ

pode ser expressa na forma