A4.7 Prova de que o conjunto Ω2 = F(Ω1) é aberto

Demonstração

Unicidade

Se X ≠ Y são pontos fixos, teremos || X − Y || = || H (X) − H (Y ) || < || X − Y ||, que é impossível. Logo, poderá existir, no máximo, um ponto fixo.

Existência

Consideremos a função

k (X) = || X − H (X) ||, X ∈ A.

A hipótese garante a continuidade de H em A e, portanto, k (X) será contínua em A. Como A é compacto e k (X) contínua, resulta que k (X) assume valor mínimo em A. Seja, então, S um ponto de mínimo de k (X). Assim, para todo X em A temos

① || X − H (X) || ≥ || S − H (S) ||.

Vamos mostrar que

S = H (S).

Supondo S ≠ H (S) e tomando T = H (S) obtemos

|| T − H (T) || = || H (S) − H (H (S)) || < || S − H (S) ||

que está em desacordo com ①. Logo, S = H (S).

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A4.7. P ROVA DE QUE O CONJUNTO Ω2 = F(Ω1) É ABERTO

Para provar que

Ω2 = F (Ω1)

é aberto, precisamos provar que, para todo (u 1, v1) ∈ Ω2, existe s > 0 tal que a bola aberta Δ de centro (u 1, v1) e raio s está contida em Ω2. Para isto, precisamos provar que, para todo (u2, v2) ∈ Δ, existe (x2, y2) em Ω1 tal que

F (x2, y2) = (u2, v2).

Ou seja, precisamos provar que dado (u , v ) em Δ, o sistema 2 2

 

admite solução em Ω1. O sistema acima é equivalente a

( u2, v2) − R (x, y) = (x, y).

Assim, provar que ① admite uma solução (x , y ) Ω 2 2 ∈ é equivalente a provar que 1

② H (x, y) = (u2, v2) − R (x, y)

admite um ponto fixo (x 2, y2).

Vamos então ajeitar as coisas para cair nas condições do teorema do ponto fixo.

Inicialmente, observamos que, para todo (x, y) e ( , ), com (x, y) ≠ ( , ), em Ω 1, tem-se

|| H (x, y) − H ( , ) || = || R (x, y) − R( , ) || ≤ λ || (x, y) − ( , )||

e como, 0 < λ < 1, resulta

 

Seja, agora, (x , y ) Ω tal que 1 1 ∈ 1

F (x1, y1) = (u1, v1).

Tomemos, agora, uma bola fechada A de centro (x1, y1) e raio δ > 0 contida em Ω1. Vamos mostrar, a seguir, que tomando || (u2, v2) − (u1, v1) || < s, com s (1 − λ) δ, teremos

H (A) ⊂ A.

Para isto é suficiente mostrar que, para todo (x, y) ∈ A e, portanto, || (x, y) − (x1, y1) || < δ, teremos

|| H (x, y) − (x1, y1) || < δ.

Vamos lá então!

|| H (x, y) − (x , y ) || = || (u , v ) − R (x, y) − (x , y ) || 1 1 2 2 1 1 = || (u2, v2) − (u1, v1) − (u1, v1) − R (x, y) − (x1, y1) || = || (u2, v2) − (u1, v1) + F (x1, y1) − R (x, y) − (x1, y1) ||

= || (u 2, v2) − (u1, v1) + R (x1, y1) − R (x, y) ||

pois F (x 1, y1) = (x1, y1) + R (x1, y1).

Segue que

|| H (x, y) − (x1, y1) || ≤ || (u2, v2) − (u1, v1) || + || R (x, y) − R (x1, y1) ||

e, portanto,

|| H (x, y) − (x1, y1) || ≤ (1 − λ) || (x, y) − (x1, y1) || ≤ (1 − λ) δ + λ δ

ou seja,

|| H (x, y) − (x1, y1) || ≤ δ.

Temos então

 

H (A) ⊂ A

e, para todo (x, y) e ( , ) em A , com (x, y) ≠ ( , ),

|| H (x, y) − H ( , ) || < ||(x, y) − ( , ) ||

 

Pelo teorema do ponto fixo, existe (x2, y2) ∈ A tal que

H (x2, y2) = (x2, y2)

ou seja,

 

Fica provado assim que todo ponto (u1, v1) ∈ Ω2 é centro de uma bola aberta contida em Ω2, ou seja, Ω2 é aberto.

Conclusão

 

Para todo (u, v) no aberto Ω existe um único par 2

(x, y) = (p (u, v), q (u, v))

no aberto Ω1, tal que

 

Ou seja, para todo (x, y) no aberto Ω1 e (u, v) no aberto Ω2 tem-se

 

Observe que fazendo

G (x, y) = (p (x, y), q (x, y))

resulta, para todo (x, y) ∈ Ω2,

F (G (x, y)) = (x, y) e, para todo (x, y) ∈ Ω 1,

G (F (x, y)) = (x, y).

De

F (x, y) = (x, y) + R (x, y)

resulta

F (G (x, y)) = G (x, y) + R (G (x, y))

e, portanto,

 

Utilizando esta última identidade, vamos provar a continuidade de G (x, y) em Ω2. Sendo (x, y) e (s, t) dois pontos quaisquer de Ω2, temos

|| G (x, y) − G (s, t) || = || (x, y) − (s, t) + R (G (x, y)) − R (G (s, t)) || ≤ || (x, y) − (s, t) || +

|| R (G (x, y)) − R (G (s, t)) ||

e, portanto,

|| G (x, y) − G (s, t) || ≤ || (x, y) − (s, t) || + λ || G (x, y) − G (s, t) ||.

Daí resulta que, para todo (x, y) e (s, t) em Ω2, tem-se

 

Desta desigualdade segue a continuidade de G no aberto Ω . (Verifique.) 2

Observamos que o aberto Ω pode ser tomado de modo que o determinante 1

jacobiano de F (x, y) seja diferente de zero em todo (x, y) de Ω1. (Para confirmar este fato considere a função