Um Curso de Cálculo, Volume 3
2.2 Definição de integral dupla
Xij ∉ B; f (Xij) deve ser substituído por zero na soma ①.
Observe que se f (Xij) > 0, f (Xij) Δxi Δyj será o volume do paralelepípedo de altura f (Xij) e cuja base é o retângulo Rij.
Seja P = {(xi, yj) | i = 0, 1, 2, …, n, j = 0, 1, 2, …, m} uma partição do retângulo R. No que segue, indicaremos por Δ o maior dos números Δx , Δx , …, Δx , Δy , Δy , …, 1 2 n 1 2 Δy . Observe que todos Δx e todos Δy tendem a zero, quando Δ tende a zero. m i j
2.2. DEFINIÇÃO DE INTEGRAL DUPLA
Seja f (x, y) uma função definida no conjunto limitado B e L um número real.
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Dizemos que a soma de Riemann
tende a L, quando Δ tende a zero, e escrevemos
se para todo > 0 dado, existir δ > 0, que só dependa de mas não da escolha de Xij, tal que
para toda partição P, com Δ < δ.
Tal número L, que quando existe é único (verifique), denomina-se integral dupla (segundo Riemann) de f sobre B e indica-se por f (x, y) dx dy. Assim
Se f (x, y) dx dy existe, então diremos que f é integrável (segundo Riemann) em
B. Definimos a área de B por
desde que a integral exista. Deixamos a cargo do leitor a justificação para esta definição.
Seja f (x, y) integrável em B, com f (x, y) ≥ 0 em B. Seja o conjunto
A 3 = {( x, y, z ) ∈ ℝ | (x, y) ∈ B, 0 ≤ z ≤ f (x, y)}.
Definimos o volume de A por
EXEMPLO. f (x, y) = k, k constante, é integrável no retângulo
R 2 = {( x , y ) ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} e
Solução
Para toda partição P de R
Segue que
ou seja,
Se k > 0, dx dy é o volume do paralelepípedo a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d e 0 ≤ z ≤ k.