9.4 Integral de superfície

(Sugestão: Veja Exercício 3 da Seção 9.2.)

 

9.4. INTEGRAL DE SUPERFÍCIE

Seja 2 K um compacto de ℝ, com fronteira de conteúdo nulo e interior não vazio; seja 3 1 σ : K → ℝ de classe C em K, regular e injetora no interior de K.

Seja w = f (x, y, z) uma função a valores reais definida e contínua na imagem de σ. Definimos a integral de superfície de f sobre σ por

 

onde du dv é o elemento de área.

Observação 1. Seja P = {(ui, vj) | i = 0, 1, 2, …, n, j = 0, 1, 2, …, m} uma partição de K; para facilitar, vamos supor que K seja um retângulo de lados paralelos aos eixos.

 

Consideremos a soma onde ΔSij é a área da região hachurada na superfície σ. Demonstra-se que

 

Observação 2. Na definição de integral de superfície a função f (x, y, z) não precisa estar definida em todos os pontos da imagem de σ; basta estar definida nos pontos X = σ (u, v), com (u, v) no interior de K. Neste caso, definimos

 

desde que a integral do 2.º membro exista no sentido da definição apresentada na Seção 2.5.

EXEMPLO 1. Se f (x, y, z) = 1, para todo (x, y, z) ∈ Im σ, teremos

 

Assim,

 

A integral de superfície pode ser aplicada no cálculo da massa, centro de massa e momento de inércia de uma superfície σ, que será imaginada como um corpo delgado, com densidade superficial de massa (massa por unidade de área) conhecida. Sejam σ e f como na definição acima. Se f (x, y, z) for a densidade superficial de massa no ponto (x, y, z) ∈ Im σ, então a massa M de σ será dada por

 

É comum referir-se a dm = f (x, y, z) dS como elemento de massa.

O momento de inércia da superfície em relação a um eixo fixo é definido por

β onde r = r (x, y, z) é a distância do ponto (x, y, z) ao eixo. O centro de massa (x , y , c c zc) é definido por

 

 

onde M é a massa e dm = f (x, y, z) dS o elemento de massa.

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EXEMPLO 2. Calcule a massa da chapa fina σ dada por x = u, y = v e z = u + 2v, 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 1, sendo f (x, y, z) = x y z a densidade superficial.

Solução

 

onde K é o quadrado 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1. Temos:

 

e, portanto,

 

Segue que

Portanto, a massa é unidades de massa.

■

EXEMPLO 3. Sejam σ e f como no exemplo anterior. Calcule o momento de inércia de σ em relação ao eixo z.

Solução

 

onde r = r (x, y, z) é a distância do ponto (x, y, z) ao eixo z. Como , vem

 

onde K é o quadrado 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1. Como

 

resulta

 

Assim, o momento de inércia da chapa em relação ao eixo z é . (Observe que o

momento de inércia tem dimensões 2 ML, onde M é massa e L, comprimento.)

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EXEMPLO 4. Sejam σ e f como no Exemplo 2. Calcule o centro de massa de σ.

Solução

Pelo Exemplo 2, M . Temos, então:

 

Assim, o centro de massa da chapa é o ponto

■

Exercícios 9.4

1. Calcule sendo

a 2 2 ) f ( x, y, z ) = x e σ ( u, v ) = ( u, v, u + v ), 0 ≤ u ≤ 1 e u ≤ v ≤ 1. b) f (x, y, z) = xy e σ (u, − v) (u − v, u + v, 2u + v + 1), 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ u. c 2 2 2 2 2 2 ) f ( x, y, z ) = x + y e σ ( u, v ) = ( u, v, u + v ), u + v ≤ 1. d 2 ) f ( x, y, z ) = y e σ ( u, v ) = ( u, v , 1 − u), 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ . e 2 2 2 2 2 ) f ( x, y, z ) = x + y e σ a superfície x + y + z = 4, z ≥ 1. (Fica entendido

aqui que σ é a parametrização mais “natural” do conjunto dado.)

f 2 2 ) f ( x, y, z ) = xy e σ é a interseção do paraboloide z = x + y com o conjunto

x2 2 + y ≤ 2x, y ≥ 0.

g 2 2 2 ) f ( x, y, z ) x e é σ a parte da superfície z = x + y situada entre os planos z =

1 e z = 3.

h 2 2 2 ) f ( x, y, z ) = z e σ é a parte da superfície z = x + y que se encontra acima do

paraboloide 4 2 2 z = x + y + 3.

i 2 2 ) e σ é a parte da superfície cilíndrica z + x = 1 que se

encontra dentro do cone .

j 2 2 )

e σ é a parte do paraboloide z = 1 − x − y que

se encontra dentro do cilindro 2 2 x + y ≤ 2y.

2. Calcule o centro de massa da superfície homogênea (densidade constante)

dada.

a 2 2 2 2 ) σ = ( u, v ) = ( u, v, u + v ) , u + v ≤ 1. b 2 2 2 ) σ é a parte da superfície cônica z = x + y compreendida entre os planos z

= 1 e z = 2.

3. Calcule a massa da superfície σ dada, com função densidade superficial de

massa f (x, y, z) dada.

a 2 2 2 ) f ( x, y, z ) = z e é a superfície x + y + z = 1, z ≥ 0. b 2 2 2 ) e σ é a superfície z = x + y, 1 ≤ z ≤ 2. c 2 ) f ( x, y, z ) = 2 e σ ( u, v ) = ( u, v , 1 − u), 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 1.

4. Calcule o momento de inércia da superfície esférica de raio R, homogênea, de

massa M, em torno de qualquer diâmetro. (Tal superfície deve ser imaginada como um corpo delgado e homogêneo.)

5. Calcule o momento de inércia da superfície homogênea, de massa M, de

equação 2 2 2 2 2 z = x + y , x + y ≤ R (R > 0), em torno do eixo Oz.

6. Calcule o momento de inércia da superfície homogênea, de massa M, de

equação 2 2 2 x + y = R (R > 0), com 0 ≤ z ≤ 1, em torno do eixo Oz.