1.2 Campo vetorial

Seja A ⊂ ℝn e consideremos uma transformação F de A em ℝn. Muitas vezes, levando em conta o significado físico ou geométrico de F, será conveniente interpretar F (X), X ∈ A, como um vetor aplicado em X. Sempre que quisermos interpretar F (X) desta forma, referirnos-emos a F como um campo vetorial e utilizaremos, então, a notação .

EXEMPLO 1. Represente geometricamente o campo vetorial dado por (x, y) = .

Solução

Trata-se de um campo vetorial constante; este campo associa, a cada ponto (x, y) de ℝ2, o vetor = (0, 1), aplicado em (x, y).

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EXEMPLO 2. Faça a representação geométrica do campo vetorial

Solução

segue que a intensidade do campo é a mesma nos pontos

de uma mesma circunferência de centro na origem. Observe que a intensidade do campo no ponto (x, y) é igual ao raio da circunferência, de centro na origem, que passa por este ponto.

Exercícios 1.2

1. Represente geometricamente o campo vetorial dado.

2. Considere o campo vetorial (x, y) = + (x − y) . Desenhe (x, y) nos

pontos da reta

a) y = xb) y = x − 1 c) y = x − 2

3. Considere o campo vetorial (x, y) = + xy . Desenhe (x, y) nos pontos

da hipérbole xy = 1, com x > 0.

4. Seja = ∇ f, onde f (x, y) = x + 2y. Desenhe (x, y), com (x, y) na reta x + 2y

= 1.

5. 2 Seja = ∇ φ , onde φ ( x , y ) = y − x. Desenhe (x, y) com (x, y) na parábola y

= 2 x.

6. 2 2 2 2 2 2 Seja = ∇ f , onde f ( x , y z ) = x + y + z . Desenhe ( x , y , z ), com x + y + z

= 1, x > 0, y > 0 e z > 0.

7. Seja = ∇ f, onde f (x, y z) = x + y + z. Desenhe (x, y, z), com x + y + z = 1,

x > 0, y > 0 e z > 0.

8. 2 2 Seja V ( x, y ) = x + y. Desenhe um campo (x, y) para o qual se tenha ∇ V (x,

y)· (x, y) ≤ 0.

9. Sejam V e como no exercício anterior. Seja γ (t) = (x (t), y (t)), t ∈ I, uma

curva tal que, para todo t no intervalo I, γ’ (t) = (γ (t)). Prove que g (t) = V (γ (t)) é decrescente em I. Conclua que se γ (t0), t0 ∈ I, for um ponto da circunferencia 2 2 2 x + y = r, então, para todo t ≥ t , t , γ (t) pertencerá ao ∈ I

0

círculo 2 2 2 x + y ≤ r. Interprete geometricamente.

10. 2 2 Sejam V ( x, y ) = x + y e (x, y) = P (x, y) + Q (x, y) , com P e Q

contínuas em 2 ℝ, tais que, para todo (x, y) ≠ (0, 0), ∇ V (x, y) · (x, y) < 0. Seja γ (t) = (x(t), y (t)) ≠ (0, 0), t ≥ 0, tal que γ’ t = (γ (t)).

a) Prove que g (t) = V (γ (t)) é estritamente decrescente em [0, +∞[. Interprete

geometricamente.

b) Sejam T, r e R, com T > 0 e r R, reais dados. Suponha que r ≤ || γ (t) || ≤ R

para todo t em [0, T]. Seja M o valor máximo de f (x, y) = ∇ V (x, y)· (x, y 2 2 2 2 ) na coroa r ≤ x + y ≤ R. (Tal M existe, pois f é contínua e a coroa um conjunto compacto.) Prove que, para todo t em [0, T],

e, portanto, para todo t em [0, T],

V (γ (t)) − V (γ (0)) ≤ M t.

c) Utilizando a última desigualdade do item b e observando que M < 0, prove

que γ ( 2 2 2 2 t ) não pode permanecer na coroa r ≤ x + y ≤ R para todo t ≥ 0.

d) Prove que V (γ (t)) existe e é zero.

e) Prove que γ (t) = (0, 0). Interprete geometricamente.

11. Seja γ ( t) = (x (t), y (t)) e suponha que, para todo t ≥ 0,

Prove que γ (t) tende a (0, 0) quando t → + ∞. (Sugestão: Utilize o exercício anterior.)