3 Cálculo de integral dupla. Teorema de Fubini

3

 

CÁLCULO DE INTEGRAL DUPLA.

TEOREMA DE FUBINI

 

3.1. CÁLCULO DE INTEGRAL DUPLA. TEOREMA DE

F UBINI

Seja o retângulo 2 R = {( x , y ) ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} e seja f (x, y) integrável em R. Para cada y fixo em [c, d], podemos considerar a função na variável x, definida em [a, b] e dada por

 

Se, para cada y ∈ [c, d], ① for integrável em [a, b], podemos, então, considerar a função dada por

 

Vejamos uma interpretação geométrica para α (y) no caso f (x, y) ≥ 0 em R.

O teorema que enunciamos a seguir e cuja demonstração é deixada para o Apêndice

1, conta-nos que se f (x, y) for integrável em R e se, para todo y ∈ [c, d], f (x, y) dx

existir, então α (y) será integrável em [c, d] e

 

Segue da igualdade acima que se f (x, y) ≥ 0 em R, então α (y) α dy será o

volume do conjunto limitado pelo gráfico de f e pelos planos x = a, x = b, y = c, y = d e z = 0, que concorda com a definição apresentada na Seção 13.3 do Vol. 1, 5.ª edição.

 

Teorema 2 ( de Fubini ). Seja f ( x , y ) integrável no retângulo R = {( x , y ) ∈ ℝ | a

≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}. Suponhamos que f (x, y) dx exista, para todo y ∈ [c, d], e

que f (x, y) dy exista, para todo x ∈ [a, b]. Então

 

EXEMPLO 1. Calcule x + y dx dy, onde R é o retângulo 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1.

Solução

Pelo teorema de Fubini

 

onde α (y) = (x + y) dx Para cada y fixo em [0, 1], temos:

 

ou seja,

α (y) = + y. (Interprete geometricamente α (y).)

Então,

Interprete geometricamente x + y dx dy.

Vamos, agora, efetuar o cálculo da integral acima, invertendo a ordem de integração.

 

Assim,

 

Ou seja,

 

Observação. A notação f (x, y) dx dy é usada para indicar a integral iterada

 

Por outro lado,

EXEMPLO 2. Calcule

 

 

Solução

 

EXEMPLO 3. Calcule o volume do conjunto de todos (x, y, z) tais que 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ 2 2 z ≤ x + y.

Solução

O volume de tal conjunto é

onde B é o retângulo 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. Temos:

 

EXEMPLO 4. Calcule xy dx dy, onde B é o conjunto de todos (x, y) tais que 0 ≤ x

≤ 1, 0 ≤ 2 y ≤ x.

Solução

Seja R o retângulo 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. Seja F (x, y) definida em R e dada por

Assim,

 

Pelo teorema de Fubini,

 

Para cada x fixo em [0, 1],

 

Como 2 F ( x , y ) = 0 para x ≤ y ≤ 1, resulta

Segue que

 

 

Como

 

resulta

 

Observação. β (x) = xy dy é a área da região hachurada. Por outro lado,

é o volume do conjunto de todos ( 2 x, y, z ) tais que 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x e 0 ≤ z ≤ xy.

Vamos, agora, calcular xy dx dy, invertendo a ordem de integração. Temos:

 

Para cada y fixo em [0, 1],

(Observe que (x, y) ∉ B para 0 ≤ x < ; logo F (x, y) = 0 para 0 ≤ x < .) Segue que

 

ou seja,

 

Tendo em vista que

 

resulta

 

Com raciocínio análogo ao do exemplo anterior, provam-se as seguintes consequências do teorema de Fubini.

 

Corolário 1. Sejam c (x) e d (x) duas funções contínuas em [a, b] e tais que, para

todo x em [a, b], c (x) ≤ d (x). Seja B o conjunto de todos (x, y) tais que a ≤ x ≤ b e

c (x) ≤ y ≤ d (x). Nestas condições, se f (x, y) for contínua em B, então

 

f (x, y) dx dy = ?

Primeiro calcula-se, para cada x fixo em [a, b], a integral de f (x, y) no intervalo

[c (x), d (x)]:

 

Tem-se, então:

 

Corolário 2. Sejam a (y) e b (y) duas funções contínuas em [c, d] e tais que, para

to-do y ∈ [c, d], a (y) ≤ b (y). Seja B o conjunto de todos (x, y) tais que c ≤ y ≤ d,

a (y) ≤ x ≤ b (y). Nestas condições, se f (x, y) for contínua em B, então

 

f (x, y) dx dy = ?

Primeiro calcula-se, para cada y fixo em [c, d], a integral de f (x, y) no intervalo

[a (y), b (y)]:

Em seguida, calcula-se a integral de α (y), para y variando em [c, d]:

 

EXEMPLO 5. 2 2 Calcule ( x − y ) dx dy , onde B é o semicírculo x + y ≤ 1, x ≥ 0.

Solução

Para cada x em [0, 1],

ou seja,

 

Então,

 

ou seja,

 

Façamos a mudança de variável

 

Assim,

Portanto,

 

 

Vamos, agora, calcular (x − y) dx dy invertendo a ordem de integração.

Para cada y em [ − 1, 1],

 

(Observe que a (y) = 0.)

ou seja,

 

Então,

ou seja,

 

 

Observe que pois o integrando é uma função ímpar; por outro

lado, como é uma função par, resulta

 

■

Portanto,

EXEMPLO 6. Calcule o volume do conjunto de todos (x, y, z) tais que x ≥ 0, y ≥ 0, x + y 2 ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1 − x.

Solução

O volume do conjunto é

onde 2 f ( x , y ) = 1 − x e B o triângulo x ≥ 0, y ≥ 0 e x + y ≤ 1. Para cada x fixo em [0, 1],

 

2 2 2 3

Assim, (1 − x ) dy = (1 − x )(1 − x) = 1 − x − x + x . Segue que ou seja,

 

EXEMPLO 7. Calcule xy dx dy, onde B é o triângulo de vértices (− 1, 0), (0, 1) e

(1, 0).

Solução

 

Como a (y) = y − 1 e b (y) = 1 − y, resulta

 

Assim,

 

(Interprete, geometricamente, este resultado.)

Vamos, agora, calcular a integral invertendo a ordem de integração. Seja B o 1 triângulo de vértices (− 1, 0), (0, 0) e (0, 1); B2 o de vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 1). Temos:

 

e

 

Assim,

 

EXEMPLO 8. − 2 Calcule e dx dy, onde B é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 1) e y

(0, 1).

Solução

Como

 

 

resulta

 

ou seja,

 

Verifique como as coisas se complicariam, invertendo a ordem de integração.

■

EXEMPLO 9. Inverta a ordem de integração e calcule

 

Solução

Precisamos primeiro descobrir a região de integração. Na integral

 

o y está variando no intervalo [0, 1] e, para cada y fixo em [0, 1], x varia de até 1. A região de integração é, então, o conjunto

B 2 = {( x , y ) ∈ ℝ | 0 ≤ y ≤ 1, ≤ x ≤ 1}.

 

Temos:

 

Como

 

resulta

ou seja,

 

EXEMPLO 10. Inverta a ordem de integração na integral dx,

onde 2 f ( x , y ) é suposta contínua em ℝ.

Solução

Primeiro vamos determinar a região de integração. Na integral

 

o x está variando em [0, 1] e, para cada x fixo em [0, 1], y varia de x até . A

região de integração é, então, o conjunto B de todos (x, y) tais que 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤

, ou seja, B é a região do plano compreendida entre os gráficos das funções y

= x e y = , com 0 ≤ x ≤ 1.

 

Temos

onde B1 é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 1) e (0, 1) e B2 o conjunto de todos (x, y) tais que 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ .

 

 

e

 

Assim,

 

EXEMPLO 11. Utilizando integral dupla, calcule a área da região compreendida entre os gráficos das funções 2 y = x e y = − x + x + 1, com − 1 ≤ x ≤ 1.

Solução

Seja B a região dada. Temos: área de B = dx dy. (Veja Seção 2.2.)

 

Como

 

resulta

 

Portanto, a área da região dada é .

■

EXEMPLO 12. Inverta a ordem de integração na integral

 

Solução

Primeiro precisamos descobrir a região de integração. Para cada x fixo no intervalo [0, 3], 2 y deve variar de x até 4 x − x: a região de integração é o conjunto

B 2 2 = {( x , y ) ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ 3 e x ≤ y ≤ 4 x − x}

 

Precisamos expressar x em função de y. Temos

y 2 2 = 4 x − x ⇔ x − 4x + y = 0.

Segue que

 

ou seja

Para inverter a ordem de integração vamos precisar dividir a região de integração em duas regiões.

 

Temos, então:

 

EXEMPLO 13. Inverta a ordem de integração na integral

Solução

 

 

A região de integração é o conjunto

B = {(x, y) ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ sen x}.

Precisamos expressar x em função de y.

 

é equivalente a

x = arcsen y, 0 ≤ y ≤ 1.

Por outro lado,

y = sen x ⇔ y = sen (π − x).

Como

 

resulta

π − x = arcsen y ou seja

x = π − arcsen y.

 

Logo,

 

EXEMPLO 14. Inverta a ordem de integração na integral

 

onde 0 < a ≤ ln .

Solução

A região de integração é o conjunto

e, portanto,

 

Logo,

 

Vamos, agora, expressar x em função de y.

 

Por outro lado,

 

e, portanto,

Como

 

o sinal − na expressão acima deve ser descartado. Logo,

 

Temos:

Observe que

 

A integral dada será, então, igual a

Neste caso a integral dada será igual a

 

Observação. Para a = ln , a última integral se anula.

■

Exercícios 3.1

1. Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1. Calcule f (x, y) dx dy, sendo (x, y)

igual a

a) x + 2y

b) x − y

c)

d)

e) 1

f) x cos xy

g) y cos xy

h)

i xy ) y e

j 2 ) xy

l) x sen πy

m)

 

2. Sejam f (x) e g (y) duas funções contínuas, respectivamente, nos intervalos [a,

b] e [c, d]. Prove que

 

onde A é o retângulo a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d.

3. Utilizando o Exercício 2, calcule

 

4. Calcule o volume do conjunto dado.

a 3 ) {( x , y , z ) ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ x + 2y}. b 3 ) {( x , y , z ) ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ }.

c 3 2 2 − ) {( x , y , z ) ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ xy e }. x y

d 3 2 2 ) {( x , y , z ) ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, x + y ≤ z ≤ 2}. e 3 ) {( x , y , z ) ∈ ℝ | 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, x + y ≤ z ≤ x + y + 2}. f 3 + ) {( x , y , z ) ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ z ≤ e }. x y

5. Calcule y dx dy onde B é o conjunto dado.

a) B é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 1). b 2 ) = B {( x , y ) ∈ ℝ | − 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x + 2}. c 2 2 ) B é o conjunto de todos ( x , y ) tais que x + 4 y ≤ 1. d) B é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (2, 1). e 2 ) B é a região compreendida entre os gráficos de y = x e y = x, com 0 ≤ x ≤ 2. f) B é o paralelogramo de vértices (−1, 0), (0, 0), (1, 1) e (0, 1). g 2 2 ) B é o semicírculo x + y ≤ 4, y ≥ 0. h 2 5 ) B = {( x , y ) ∈ ℝ | x ≥ 0, x − x ≤ y ≤ 0}.

6. Calcule f (x, y) dx dy sendo dados:

a 2 2 ) f ( x , y ) = x cos y e B = {( x , y ) ∈ ℝ | x ≥ 0, x ≤ y ≤ π}. b 2 2 2 ) f ( x , y ) = xy e B = {( x , y ) ∈ ℝ | x + y ≤ 2, y ≤ x e x ≥ 0}. c) f (x, y) = x e B o triângulo de vértices (0, 0), (1, 1) e (2, 0). d) f (x, y) = xy e B o retângulo 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. e) f (x, y) = x + y e B o paralelogramo de vértices (0, 0), (1, 1), (3, 1) e (2, 0). f)

g 2 2 2 ) f ( x , y ) = xy cos x e B = {( x , y ) ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1}. h) f (x, y) = (cos 2y) e B o retângulo de vértices (0, 0),

 

i) f (x, y) = x + y e B a região compreendida entre os gráficos das funções y =

x x e y = e, com 0 ≤ x ≤ 1.

j 3 2 ) f ( x , y ) = y e e B o retângulo 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2. xy

l 5 3 2 2 2 2 ) f ( x , y ) = x cos y e B = {( x , y ) ∈ ℝ | y ≥ x , x + y ≤ 2}. m 2 2 ) f ( x , y ) = x e B o conjunto de todos ( x , y ) tais que x ≤ y ≤ − x + 2x + 2. n) f (x, y) = x e B a região compreendida entre os gráficos de y = cos x e y = 1

− cos x, com 0 ≤ x ≤ .

o) f (x, y) = 1 e B a região compreendida entre os gráficos de y = sen x ey = 1 −

cos x, com 0 ≤ x ≤ .

p)

q 2 ) f ( x , y ) = x e B o conjunto de todos ( x , y ) tais que y ≥ x e x ≤ y ≤ x + 2. r) e B o conjunto de todos (x, y) tais que 1 ≤ x ≤ 4 e 0 ≤ y ≤

.

7. Inverta a ordem de integração.

8. Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)

a 2 2 ) x + y ≤ 1 e x + y + 2 ≤ z ≤ 4. b 2 2 ) x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ x + y. c 2 2 ) ≤ 0 y ≤ 1 − x e 0 ≤ z ≤ 1 − x. d 2 2 ) x + y + 3 ≤ z ≤ 4.

e 2 2 ) x + 4 y ≤ 4 e x + y ≤ z ≤ x + y + 1. f 2 ) x ≥ 0, x ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ e. y

g 2 2 2 2 2 2 ) x + y ≤ a e y + z ≤ a (a > 0). h 2 2 2 ) x + y ≤ z ≤ 1 − x.

i) x + y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 0. j 2 4 2 2 2 ) x ≤ y ≤ 1, x ≥ 0, z ≥ 0 e z + x + x y ≤ 2 x. l 2 2 ) x + y ≤ z ≤ 2x.

m 2 ) x ≤ z ≤ 1 − y e x ≥ 0.

n) 4x + 2y ≤ z 3x + y + 1, x 0 ≥ e y ≥ 0. o 3 ) 0 ≤ z ≤ sen y e

9. Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto B dado.

a) B é o conjunto de todos (x, y) tais que ln x ≤ y ≤ 1 + ln x, y ≥ 0 e x ≤ e. b)

c) B é determinado pelas desigualdades xy ≤ 2, x ≤ y ≤ x + 1 e x ≥ 0. d)

e 2 2 ) B é limitado pelas curvas y = x − x e x = y − y.