A4.3 Preliminares

Fica provado assim que o limite ④ é zero. Logo, as funções

são diferenciáveis em (u0, v0).

Seja 2 2 1 F :Ω ⊂ ℝ → ℝ de classe C no aberto Ω e tal que JF (x , y ), (x , y ) ∈ Ω,

0 0 0 0

seja inversível. Nosso objetivo nas próximas seções é provar que, nestas condições, existe um aberto Ω1 ⊂ Ω, com (x0, y0) ∈ Ω1 tal que a matriz jacobiana JF (x, y) é inversível em todo (x, y) ∈ Ω , F é uma função inversível em Ω , o conjunto Ω = F 1 1 2 (Ω 2 1 ) é aberto e a função inversa G : Ω → ℝ é de classe C.

1 2

A4.3. P RELIMINARES

O que dissemos no final da seção anterior pode ser reescrito da seguinte forma. Sejam

funções a valores reais e de classe 1 2 C no aberto Ω ⊂ ℝ. Sejam (x , y ) Ω, u ∈ = f (x ,

0 0 0 0

y 0) e v0 = g (x0, y0). Suponhamos que o determinante jacobiano

seja diferente de zero no ponto (x , y ). 0 0

Pois bem, nosso objetivo a seguir é provar que existem abertos Ω1 e Ω2, com Ω1 ⊂ Ω, (x0, y0) ∈ Ω1, (u0, v0) ∈ Ω2 e um único par de funções (p (u, v), q (u, v)) definidas e de classe 1 C em Ω , tais que, para todo (x, y) ∈ Ω e (u, v) ∈ Ω ,

2 1 2

No fundo, entre outras coisas, o que estamos querendo é estudar a possibilidade de resolver o sistema

para (u, v) próximo de (u0, v0). Com este objetivo em mente, vamos colocar ① numa forma mais adequada. Observamos, inicialmente, que, sem perda de generalidade, podemos supor

(x0, y0) (0, 0) e (u0, v0) (0, 0).

Como 1 f ( x, y ) e g ( x, y ) são de classe C, portanto diferenciáveis, temos, conforme aprendemos no Vol. 2,

onde

Desta forma, ① é equivalente a

que, em forma matricial, se escreve

Como o determinante jacobiano está sendo suposto diferente de 0 em (0,

0), resulta que a matriz jacobiana

é inversível. Segue que ③ é equivalente a

onde

De ④ segue que se descreve um aberto então (u, v) também descreverá um aberto (por quê?). De ② e ⑤ segue que

conforme se verifica facilmente.

Desta forma, sem perda de generalidade, podemos supor ① da forma

com 1 R ( x, y ) e R ( x, y ) de classe C e

1 2

Vamos então estudar o sistema

com f (x, y) = x + R x, y 1 () e g (x, y) = y + R x, y R 2 ( ), com 1 (x, y) e R2 (x, y) satisfazendo as condições acima.

Da condição segue que

(Verifique.)

Nosso objetivo, a seguir, é provar que para (u, v) próximo da origem (0, 0) o sistema ⑦ admite solução única. Para este fim, vamos considerar a função

F (x, y) = (f (x, y), g (x, y)) = (x + R1 (x, y), y + R2 (x, y))

e, portanto,

F (x, y) = (x, y) + R (x, y)