Um Curso de Cálculo, Volume 3
6.2 Outra notação para a integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva
6.2. OUTRA NOTAÇÃO PARA A INTEGRAL DE LINHA DE
UM CAMPO VETORIAL SOBRE UMA CURVA
Seja (x, y) = P(x, y) + Q(x, y) um campo vetorial contínuo no aberto Ω de ℝ2 1 e seja γ: [ a, b ] → Ω uma curva de classe C dada por x = x (t) e y = y (t). Temos
A última expressão acima nos sugere a notação para a
integral de linha de sobre γ:
Da mesma forma
indicará a integral de linha de
sobre a curva γ dada por
x = x (t), y = y (t) e z = z (t), a ≤ t ≤ b.
EXEMPLO 1. Calcule
Solução
EXEMPLO 2. 1 Calcule é uma curva de classe C,
cuja imagem é a elipse e tal que, quando t varia de a até b, γ (t)
descreve a elipse no sentido anti-horário.
Solução
(Observação: Sempre que se especificar apenas a imagem de γ, entender-se-á que γ é a curva mais “natural” que tem tal imagem.)
Uma parametrização bem natural e que atende as condições dadas é
Temos, então,
ou seja,
Exercícios 6.2
1. 2 Calcule x dx + y dy , sendo γ dada por x = t e y = sen t, 0 ≤ t ≤ .
2. Calcule x dx − ydy, onde γ é o segmento de extremidades (1, 1) e (2, 3),
percorrido no sentido de (1, 1) para (2, 3).
3. Calcule x dx + y dy + z dz, onde γé o segmento de extremidades (0, 0, 0) e
(1, 2, 1), percorrido no sentido de (1, 2, 1) para (0, 0, 0).
4. 2 2 Calcule x dx + dy + 2 dz onde γé a interseção do paraboloide z = x + y
com o plano z = 2x + 2y − 1; o sentido de percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de γ (t), no plano xy, caminhe no sentido anti-horário.
5. 2 2 2 Calcule dx + xy dy + z dz , onde γé a interseção de x + y + z = 2, x ≥ 0, y ≥
0 e z ≥ 0, com o plano y = x; o sentido de percurso é do ponto (0, 0, ) para
(1, 1, 0).
6. 2 2 Calcule 2 dx − onde γ tem por imagem x + y = 4, x ≥ 0 e y ≥ 0; o sentido de
percurso é de (2, 0) para (0, 2)