A2.2 Uma condição suficiente para a existência de integral dupla

então f será integrável em A e

A2.2. UMA CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA A EXISTÊNCIA

DE INTEGRAL DUPLA

Teorema 1. Seja f (x, y) definida e limitada no retângulo

A 2 = {( x, y ) ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}.

Seja D o conjunto dos pontos de A em que f é descontínua. Nestas condições, se o

conteúdo de D for nulo, então f será integrável em A.

Demonstração

Tendo em vista a última propriedade da seção anterior, basta provar que

ou seja, que, para todo > 0, existe δ > 0, tal que

S (P) − s (P) <

para toda partição P de A , com d (P) < δ.

Seja, então, > 0 um real dado. Como D tem conteúdo nulo, para todo 1 > 0 dado, existe um número finito de retângulos, com lados paralelos aos eixos coordenados, cuja reunião contém D e tal que a soma das áreas é menor que 1. Seja E a reunião dos retângulos acima.

Para cada retângulo acima, consideremos o retângulo obtido deste, aumentando cada lado de 2δ 1 “δ1 de cada lado”:

Tomemos δ1 de modo que a soma destes novos retângulos seja menor que 2 1. Seja E1 a reunião destes novos retângulos; a área de E 1 é, então, menor que 2 1. É claro que D ⊂ E ⊂ E1.

Seja B o conjunto de todos os pontos (x, y) ∈ A, com (x, y) não pertencente a E. Seja B1 a reunião de B com os seus pontos de fronteira. B1 é compacto. Os retângulos acima (aqueles cuja reunião é E) podem ser escolhidos de modo que B não contenha 1 pontos de D. (Verifique.) Deste modo, B1 é compacto e f é contínua em B1. Pelo teorema da seção anterior, para todo 2 > 0 dado, existe δ2 > 0 tal que, quaisquer que sejam X e Y em B1,

Seja δ > 0, com δ < min {δ1, δ2}. Seja P uma partição qualquer de A , com d (P) < δ. (Lembramos que d (P) é a maior das diagonais dos retângulos que a partição P determina.) Sejam A ij, i = 1, 2, …, n e j = 1, 2, …, m, os retângulos determinados pela partição P. Como as diagonais destes retângulos são menores que δ, segue que os lados são menores que δ 1. Deste modo, se Aij intercepta E, então Aij estará contido em E1. Se A ij não intercepta E, Aij estará contido em B1.

Seja ∧ a coleção dos pares de índices (i, j) tais que A ij intercepta E e seja ∧1 a coleção dos pares de índices (i, j) que não pertencem a ∧. Temos: ou seja,

Se (i, j) ∈ ∧1, então Aij estará contido em B1; como a diagonal de Aij é menor que δ e, portanto, menor que δ resulta, tendo em vista ①, 2

Mij − mij < 2.

Daí

onde α é a área de A.

Como, por hipótese, f é limitada em A, existe M > 0 tal que, para todo (x, y) ∈ A,

| f (x, y) | ≤ M.

Segue que, para todo par (i, j),

M − m ≤ 2M. ij ij

Daí

onde β é a soma das áreas dos retângulos A ij, com (i, j) ∈ ∧. Mas estes retângulos estão contidos em E1; logo β < 2 1. Portanto,

De ②, ③ e ④ resulta

S (P) − s (P) <α 2 + 4M 1.

Basta, agora, tomar 1 e 2 de modo que α 2 + 4M 1 < .

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Seja 2 B ⊂ ℝ um conjunto limitado, com fronteira de conteúdo nulo. Seja A um retângulo de lados paralelos aos eixos contendo B. Sejam f : B → ℝ e g : A → ℝ, sendo g dada por

Tendo em vista a definição de integral dupla, f será integrável em B se e somente se g for integrável em A. (Verifique.)

Suponhamos que f seja limitada e contínua em B. Segue que g será limitada em A. Além disso, g só poderá ser descontínua em pontos que estejam na fronteira de B. De fato, se (x, y) ∈ A não estiver na fronteira de B, (x, y) ou estará no interior de B ou no interior do complementar de B, em ambos os casos g será contínua em (x, y). Segue que o conjunto D dos pontos em que g é descontínua está contido na fronteira de B; logo, D tem conteúdo nulo. Segue do teorema anterior, que g será integrável em A ; logo, f será integrável em B.

Provamos assim o seguinte teorema:

Teorema 2 2 . Seja B ⊂ ℝ um conjunto limitado e seja f : B → ℝ uma função

contínua e limitada. Nestas condições, se a fronteira de B tiver conteúdo nulo,

então f será integrável em B.