Um Curso de Cálculo, Volume 4
3 Critérios de convergência e divergência para série de termos positivos
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CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA E
DIVERGÊNCIA PARA SÉRIES DE
TERMOS POSITIVOS
3.1. CRITÉRIO DA INTEGRAL
Critério da Integral. Consideremos a série e suponhamos
que exista um natural p e uma função f : [p, + ∞ [ → contínua,
decrescente e positiva tal que f(k) = a para k ≥ p. Nestas condições, k tem-se
Demonstração
Para n > p,
Como p está fixo, segue dessa relação que a série será convergente
(ou divergente) se, e somente se, for convergente (ou divergente).
a) Raciocinando como no Exemplo 2 da Seção 2.1, temos
Segue que a sequência é crescente e limitada superiormente por
Logo, a série é convergente e, portanto, também é
convergente.
b) Fica para o leitor.
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EXEMPLO 1. A série é convergente ou divergente? Justifique.
Solução
Vamos aplicar o critério da integral utilizando a função
Tal função é positiva, contínua e decrescente em [2, +
∞[ como se verifica facilmente. Temos
Como resulta Pelo critério da
integral, a série é divergente.
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EXEMPLO 2. Seja α > 0, com α ≠ 1, um real dado. Estude a série
com relação a convergência ou divergência.
Solução
Vamos aplicar o critério da integral com a função Esta
função é claramente positiva, contínua e decrescente no intervalo [2, + ∞[. Temos
e, portanto,
Pelo α > 1, e, para 0 < α < 1,
pelo critério da integral, a série é convergente para α > 1 e divergente para 0 < α < 1.
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Com auxílio dos Exemplos 1 e 2 estabeleceremos mais adiante o importante critério de De Morgan. As séries dos Exemplos 1 e 2 também podem ser estudadas utilizando o critério de Cauchy-Fermat. (Veja Exercícios 5 e 7.)
Exercícios 3.1
1. Estude a série dada com relação a convergência ou divergência.
2. Suponha que a função f :[0, + ∞[ → seja contínua, decrescente e
positiva.
Prove
3. Suponha que a função f : [0, + ∞[→ seja contínua, decrescente e
positiva. Suponha, ainda, que a série seja convergente e
tenha soma s. Prove que é um valor aproximado por falta de
s, com erro, em módulo, inferior a
4. Suponha f :[1, + ∞[ → contínua, decrescente e positiva. Inspirado
no método de Fermat (veja Exercício 22 da Seção 2.1) e supondo E > 1, mostre que
5. (Critério de Cauchy-Fermat.) Suponha f : [1, +∞[ → contínua,
decrescente e positiva. Sendo E > 1, prove