Um Curso de Cálculo, Volume 4
7.5 Exemplo de função que é contínua em ℝ, mas que não é derivável em nenhum ponto de ℝ
d) Prove que, para todo x no domínio de f,
7.5. EXEMPLO DE FUNÇÃO QUE É CONTÍNUA EM
, MAS QUE NÃO É DERIVÁVEL EM NENHUM
PONTO DE
Seja g: → a função que satisfaz as condições:
b) para todo x ∈ , g (x + 2) = g (x).
A condição b nos diz que g é periódica, com período 2. Observe que, para todo x, |g (x)| ≤ 1.
Para cada natural n, seja
Assim,
f (x) = g (x); 0
Faça você o gráfico de f + f + f e imagine os gráficos de f + f + f + ... + 0 1 2 0 1 2 f , para n ≥ 3. n
Nosso objetivo a seguir é provar que a função f dada por
é contínua em , mas não derivável em nenhum ponto de . Para todo x real e para todo natural n,
Como é convergente (série geométrica com razão < 1), segue do
critério M de Weierstrass que a série
é uniformemente convergente em e como, para cada n,
é contínua em , resulta que a função
é contínua em .
Seja, agora, x ∈ . Para cada natural m, existe um inteiro k tal que
k ≤ 4 mx ≤ k + 1.
Daí,
k4−m −m ≤ x ≤ (k + 1)4 .
Sejam α = k4−m e β = (k + 1)4−m. De β − α = 4−m resulta m m m m
Mas, para todo m, α ≤ x ≤ β ; logo, m m
Vamos provar a seguir que
o que mostra que f não é derivável em x. (Se f fosse derivável em x, deveríamos ter
Confira!) Temos
Para n > m,
4n β − 4 α = 4 (β − α ) = 4 , n n n − m
m m m m
que é múltiplo de 4; daí
g (4n n β ) − g (4 α ) = 0,
m m
pois g é periódica com período 2. Para n = m,
4n β = k + 1 e 4 α = k, n
m m
daí
|g(4 n β ) − g(4 α )| = 1. n
m m
Para n < m, não existe inteiro entre| 4 n n β e 4 α (verifique); logo,
m m
|g(4 n n n − m β ) − g(4 α )| = 4. (Pense!)
m m
Segue que
daí
Do que vimos acima resulta
ou seja,
Como
resulta
e daí
Como β −m − α = 4, resulta
m m
Logo,