Um Curso de Cálculo, Volume 4
6.5 Demonstrações de teoremas
n > n e m > n ⇒ |f (x) − f (x)| < . 0 0 n m
Suponhamos, agora, que para todo > 0, existe n tal que, para todo x ∈ 0 B,
Segue daí que, para todo x ∈ B, a sequência numérica de termo geral f (x) n é uma sequência de Cauchy. Assim, para cada x ∈ B, existe um número f (x) com
Vamos mostrar que a sequência de funções converge uniformemente a f em B. Fazendo em m tender a +∞ resulta que, para todo x ∈ B,
ou seja, f converge uniformemente a f em B. n
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6.5. DEMONSTRAÇÕES DE TEOREMAS
Demonstração do teorema 1
Precisamos provar que dado > 0, existe δ > 0, tal que, para todo x ∈ B,
|x − x | < δ ⇒ |f(x) − f(x )| < . 0 0
Como, por hipótese, f converge uniformemente a f, dado > 0, existe um n
natural p, tal que, para todo x ∈ B,
e, em particular,
Da hipótese de cada f ser contínua em x resulta, em particular, que f é n 0 p contínua em x . Daí, existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ B, 0
Por outro lado, para todo x ∈ B,
| f (x) − f (x ) | = |f (x) − f (x) + f (x) − f (x ) + f (x ) − f (x )| 0 p p p 0 p 0 0
e, portanto,
| f (x) − f (x )| ≤ |f (x) − f (x)| + |f (x) − f (x )| + |f (x ) − f (x )|. 0 p p p 0 p 0 0
De , , e da desigualdade acima resulta que, para todo x ∈ B,
Demonstração do teorema 2
Precisamos provar que dado > 0, existe um natural n tal que 0
Da hipótese e do teorema anterior segue que f é contínua em [a, b]; logo, integrável em [a, b]. Temos
Como f converge uniformemente a f em [a, b], dado > 0, existe um n
natural n tal que, para todo x ∈ [a, b], 0
De e segue .
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Demonstração do teorema 3
Seja x ∈ I, com x fixo. Para todo x ∈ I, 0 0
pois, por hipótese, f' converge uniformemente a g no intervalo de extremos n
x e x (estamos usando aqui o teorema anterior e a hipótese de f’ convergir 0 n uniformemente a g em I). Como
resulta
ou seja,
Como g é contínua em I (por quê?), pelo teorema fundamental do cálculo,
f'(x) = g(x)
para todo x ∈ I.
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