Apêndice 1 Teorema de existência e unicidade para equação diferencial de 1ª ordem do tipo y' = f (x, y)

Apêndice

1

 

TEOREMA DE EXISTÊNCIA E

UNICIDADE PARA EQUAÇÃO

D a IFERENCIAL DE 1. ORDEM DO

TIPO y' = f (x, y)

 

A1.1. PRELIMINARES

 

Lema 1. Seja a equação

 

onde f : Ω 2 ⊂ → é contínua no aberto Ω. Seja (x , y ) ∈ Ω.

0 0

Nestas condições, y = y (x), x ∈ I, será uma solução satisfazendo a condição inicial y (x ) = y , com x no intervalo I, se, e somente se, 0 0 0

para todo x ∈ I.

 

 

Demonstração

Se y = y (x), x ∈ I, é solução de , então

y' (x) = f (x, y (x))

para todo x em I. Como estamos supondo y (x ) = y , vem 0 0

 

para todo x em I. Reciprocamente, se

 

então teremos

y (x ) = y 00

e, pelo teorema fundamental do cálculo,

Lema 2. Seja f : Ω 2 ⊂ → , Ω aberto, uma função contínua e tal

que seja, também, contínua em Ω. Seja (x , y ) ∈ Ω. Sendo Ω 0 0 aberto, existem a > 0 e b > 0 tais que o retângulo

 

Q = {(x, y) | x − a ≤ x ≤ x + a, y − b ≤ y ≤ y + b} 0 0 0 0

está contido em Ω. Nestas condições, existe uma constante K > 0 tal que

 

| f (x, y ) − f (x, y ) | ≤ K | y − y | 1 2 1 2

quaisquer que sejam (x, y ) e (x, y ) no retângulo Q. 1 2

 

Demonstração

Da continuidade de em Ω, segue a continuidade no retângulo Q;

pelo teorema de Weierstrass, existe uma constante K > 0 tal que

 

para todo (x, y) em Q. Sejam (x, y ) e (x, y ) dois pontos quaisquer de Q. 1 2 Temos, pelo TVM,

para algum s entre y e y . Assim, 1 2

 

Lema 3. Seja f : Ω 2 ⊂ → , Ω aberto, contínua e seja (x , y ) ∈

0 0

Ω. Sejam a > 0 e b > 0 tais que o retângulo

 

Q = {(x, y) | x − a ≤ x ≤ x + a, y − b ≤ y ≤ y + b} 0 0 0 0

esteja contido em Ω. Seja M > 0 tal que

| f (x, y) | ≤ M, em Q.

(Tal M existe, pois f é contínua em Q.) Seja r > 0, tal que

r ≤ a e Mr ≤ b.

 

Seja y = y (x), x − r ≤ x ≤ x + r, contínua e cujo gráfico esteja n−1 n−1 0 0 contido em Q; seja

y = y (x), x − r ≤ x ≤ x + r, n n 0 0

dada por

 

Nestas condições, o gráfico de y = y (x) também está contido em n n Q.

Demonstração

Para provar que o gráfico de y está contido em Q, é suficiente provar n que

 

| y (x) − y | ≤ b n 0

para todo x ∈ [x − r, x + r]. 0 0

 

Temos, para todo x ∈ [x − r, x + r], 0 0

 

e, portanto,

 

Como, para todo s ∈ [x − r, x + r], 0 0

(s, y (s)) ∈ Q, n−1

resulta

 

| f (s, y (s)) | ≤ M n−1

para todo s ∈ [x − r, x + r]. Logo, 0 0

 

para todo x ∈ [ x − r, x + r]. Daí, para todo x ∈ [ x − r, x + r ], 0 0 0 0

| y (x) − y | ≤ M | x − x | n 0 0

e, portanto,

 

Sejam f : Ω 2 ⊂ → , r > 0 e (x , y ) como no lema anterior.

0 0

Consideremos a função constante

y (x) = y , x ∈ [x − r, x + r]. 0 0 0 0

A função y (x) = y é contínua e seu gráfico está contido em Q. 0 0

Consideremos, agora, a sequência de funções (y (x)) definidas em [x − r, n n ≥ 0 0 x + r] e dadas por 0

y (x) = y 0

e