1.2 Sequências crescentes e sequências decrescentes

20. (Produto de Wallis) Mostre que, para todo natural n, tem-se

 

 

1.2. SEQUÊNCIAS CRESCENTES E SEQUÊNCIAS

DECRESCENTES

Trabalhar com a sequência a , com n ≥ q, onde q é um natural fixo, é o n mesmo que trabalhar com a sequência a , n ≥ 0; por esse motivo, de n + q

agora em diante, todos os resultados serão estabelecidos para sequências a , n com n ≥ 0.

Seja a uma sequência. Dizemos que tal sequência é crescente se, n

quaisquer que sejam os naturais m e n,

 

m < n ⇒ a ≤ a . m n

Se a ≤ a for trocado por a ≥ a , então diremos que a sequência é m n m n decrescente.

Uma sequência numérica é dita monótona se for crescente ou decrescente.

Dizemos que a sequência a é limitada superiormente se existir um n número real β tal que, para todo natural n, a ≤ β. n

Dizemos que a sequência a é limitada inferiormente se existir um n número real α tal que, para todo natural n, a ≥ α. n

Dizemos que a é uma sequência limitada se existirem reais α e β tais n

que, para todo natural n, α ≤ a ≤ β. Observe que a sequência a é limitada n n se e somente se for limitada superiormente e inferiormente.

O teorema que enunciamos, e provamos a seguir, será muito importante para o que segue.

Antes de começar a estudar a demonstração do próximo teorema, sugerimos ao leitor rever o Apêndice 1 do Vol. 1, 5.ª edição.

 

Teorema. Seja a uma sequência crescente. n

(i) Se a for limitada superiormente, então a será convergente. n n (ii) Se a não for limitada superiormente, então a será divergente n n para +∞.

 

Demonstração

 

(i) O conjunto {a | n ≥ 0} é não vazio e limitado superiormente; logo, n

admite supremo. Seja a = sup {a | n ≥ 0}. Provaremos que n

 

Sendo a o supremo de {a | n ≥ 0}, dado > 0, existe pelo menos um n

natural n tal que 0

a − < a ≤ a n o

(Se tal n não existisse, teríamos, para todo natural n, a ≤ a − e, então, a 0 n não poderia ser o supremo do conjunto de todos os a .) n

Como, por hipótese, a é crescente, resulta n

n > n ⇒ a − < a . 0 n

Mas, para todo n, a ≤ a, pois a é o supremo do conjunto {a | n ≥ 0}. Logo, n n

n > n ⇒ a − < a ≤ a < a + . 0 n

Portanto,

Como a não é limitada superiormente, para todo > 0, existe pelo n

(ii) menos um natural n tal que a > . Como, por hipótese, a é crescente, 0 n n 0

resulta

n > n ⇒ a > 0 n

ou seja,

 

O teorema que acabamos de provar conta-nos que para uma sequência crescente só há duas possibilidades: convergente ou divergente para +∞. Será convergente se for limitada superiormente; divergirá para +∞ se não for limitada superiormente.

Fica a seu cargo provar que toda sequência decrescente e limitada inferiormente é convergente e que toda sequência decrescente e não

limitada inferiormente diverge para −∞. (Observe: se a for decrescente, n então −a será crescente.) n

EXEMPLO 1. A sequência é convergente ou divergente?

Justifique.

Solução

Observamos, inicialmente, que a sequência é crescente. De fato, quaisquer que sejam os naturais m e n, com 1 ≤ m < n, tem-se

 

e

Como > 0, resulta s > s . n m

 

Vamos provar a seguir que a sequência é limitada superiormente.

 

Temos

 

Como a sequência é crescente e

 

resulta

 

s ≤ 2, para todo n ≥ 1. n

Segue que a sequência é convergente, pois é crescente e limitada superiormente por 2. Isto significa que existe um número real s tal que

observe que s ≤ 2. Veja

quando n → +∞, s tende a s, onde s é um número real, com s ≤ 2. n

 

■

 

EXEMPLO 2. A sequência é convergente ou divergente?

Justifique.

Solução

 

Para todo n ≥ 1,

Como

 

 

resulta

 

Exercícios 1.2

 

1. É convergente ou divergente? Justifique.

 

2. Considere a sequência

a) Verifique que a sequência é crescente e limitada superiormente

por 2.

b) Calcule

3. Sejam a e b duas sequências, com a crescente e b decrescente, e n n n n

tais que, para todo natural n, b − a ≥ 0. Suponha, ainda, que n n

Prove que as sequências são convergentes e que

 

4. Considere a sequência de termo geral , com a > 0 para k

todo k ≥ 1. Suponha que Suponha, ainda, que a

sequência de termo geral s , n ≥ 0, seja decrescente e que a 2n + 1

sequência de termo geral s , n ≥ 1, seja crescente. Prove que a 2n sequência de termo geral

 

é convergente.

5. 2 2 2 Para cada natural n ≥ 1, seja A o círculo x + y ≤ n. Prove que é

n

convergente a sequência de termo geral

 

6. 2 2 2 Para cada natural n ≥ 1, seja A o círculo x + y ≤ n. A sequência de

n

termo geral

 

é convergente ou divergente? Justifique.

7. Prove que a sequência de termo geral

é convergente.

 

8. A sequência de termo geral

 

é convergente ou divergente? Justifique.

9. Suponha que, para todo natural n, a pertence ao conjunto {0, 1, 2, ..., n

9}. A sequência de termo geral

 

é convergente ou divergente? Justifique.

10. Seja , n ≥ 0. Prove que