5 Critérios de Cauchy e de Dirichlet

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CRITÉRIOS DE CAUCHY E DE

DIRICHLET

 

5.1. SEQUÊNCIAS DE CAUCHY

Dizemos que a , n ≥ 0, é uma sequência de Cauchy se, para todo > 0, n

existir um natural n tal que 0

 

Grosso modo, dizer que a é uma sequência de Cauchy significa que o n

módulo da diferença entre dois termos quaisquer a e a vai se tornando m n cada vez menor à medida que m e n crescem.

O principal objetivo desta seção é provar que toda sequência de Cauchy é convergente.

Segue da definição anterior que se a for uma sequência de Cauchy, para n todo k ≠ 0, k natural, existe um natural n tal que k Tomando-se m = n , vem k

 

ou ainda

 

Vemos, assim, que se a for uma sequência de Cauchy, então os seus n

termos, à medida que n cresce, vão se acumulando em intervalos de amplitude cada vez menor.

 

Segue de que toda sequência de Cauchy é limitada. (Justifique.)

Para provar que toda sequência de Cauchy é convergente, vamos precisar do seguinte exemplo.

EXEMPLO. Seja a , n ≥ 0, uma sequência limitada. Considere as n

sequências

 

e

Prove que as sequências l e L , n ≥ 0, são convergentes. n n

Solução

Como a sequência a é limitada, l e L existem para todo natural n. n n n Veja:

l = inf {a , a , a , ...} 0 0 1 2

l = inf {a , a , a , ...} 1 1 2 3

l = inf {a , a , a , ...} etc. 2 2 3 4

L = sup {a , a , a , a , ...} 0 0 1 2 3

L = sup {a , a , a , a , ...} 1 1 2 3 4

L = sup {a , a , a , ...} etc. 2 2 3 4

Observe que l é crescente e L decrescente. Observe, ainda, que, para todo n n

natural n, l ≤ L . Segue que, para todo natural n, n n

l ≤ L 0n

e

l ≤ L . n 0

Portanto, tais sequências são convergentes.

■

Teorema 1. Toda sequência de Cauchy é convergente.

 

Demonstração

Seja a , n ≥ 0, uma sequência de Cauchy. Sendo de Cauchy é limitada. n

Podemos, então, considerar as sequências do exemplo anterior:

L = sup {a | j ≥ n} e l = inf {a | j ≥ n}. n j n j

Já sabemos que tais sequências são convergentes. Como a é de Cauchy, n para todo natural k ≠ 0, existe um natural n tal que k

 

n ≥ n ⇒ a − < a < a + . k n n n k k

 

Assim, a − é uma cota inferior do conjunto n k

{a | n ≥ n } n k

 

e a + uma cota superior. Logo, n k

 

a − ≤ l ≤ L ≤ a + . n n n n k k k k

Segue que, para todo n ≥ n , k

 

a ≤ l ≤ a + n n n k k

e

 

a ≤ L ≤ a + n n n k k

Daí e pelo fato de l ≤ L vem n n

 

e, portanto,

[L − l ] = 0; n n

logo

 

(Observe que para todo > 0 dado existe um natural k ≠ 0 tal que < ;

tendo em vista , para todo > 0 dado, existem naturais k ≠ 0 e n tais que k

n ≥ n ⇒ |L − l | < < . k n n

Logo,

{L − l ] = 0.) n n

Como, para todo natural n,

l ≤ a ≤ L n nn resulta, pelo teorema do confronto, que a é convergente e n

a = L . n n

■

 

Teorema 2. Toda sequência convergente é de Cauchy.

 

Demonstração

 

Sendo a , n ≥ 0, convergente, dado > 0 existe um natural n tal que n 0

n ≥ n ⇒ | a − a| < 0 n

onde a = a . Temos, também, n

m ≥ n ⇒ |a − a| < . 0 m

Temos

 

|a − a | = |a − a + a − a | ≤ |a − a| + |a − a|. m n m n m n

Segue que

n ≥ n e m ≥ n ⇒ |a a | < . 0 0 m n

■

 

Dos teoremas 1 e 2 resulta a seguinte condição equivalente para convergência.

 

Teorema. Uma sequência é convergente se, e somente se, for

uma sequência de Cauchy.

 

Para finalizar a seção, enunciaremos a seguir duas condições

equivalentes e muito úteis para a ser uma sequência de Cauchy. n

A sequência a , n ≥ 0, é uma sequência de Cauchy se, e somente se, n

para todo > 0 dado, existir um natural n tal que, quaisquer que sejam os 0 naturais n e p,

 

n ≥ n ⇒ |a − a | < . 0 n + p n

Ou ainda a é uma sequência de Cauchy se, para todo > 0 dado, existir n

um natural n tal que, quaisquer que sejam os naturais m e n, 0

m > n ≥ n ⇒ |a − a | < . 0 m n

Exercícios 5.1

 

1. Dizemos que uma função T: → é uma contração se existir um

real λ, com 0 ≤ λ < 1, tal que, quaisquer que sejam os reais x e y,

|T(x) − T(y)| ≤ λ| x − y |.

 

Seja, então, T: → uma contração e considere um real a . Seja a 0 sequência a , n ≥ 0, dada por n

a = T (a ), n ≥ 1. n n − 1

Prove

 

2. Seja a , n ≥ 0, a sequência do exercício anterior. Prove que tal n

sequência é de Cauchy e, portanto, existe um número real a tal que

a = a. n

3. Seja T: → uma contração. Prove que T é contínua.

 

4. Seja a , n ≥ 0, a sequência do Exercício 1. Tendo em vista os n

Exercícios 2 e 3, prove que a = T(a).

5. Seja T: → uma função. Dizemos que a é um ponto fixo para T se

a = T(a). Prove que se T for uma contração, então T admitirá um e somente um ponto fixo.