10.5 Equação de Bernoulli

a) Supondo que o capital investido no instante t = 0 seja C , 0

determine o valor C = C(t) do capital aplicado no instante t.

b) Qual o rendimento mensal que o investidor está auferindo?

(Suponha t em meses.)

6. Um capital C = C(t) está crescendo a uma taxa proporcional a C.

Sabe-se que o valor do capital aplicado no instante t = 0 era de R$20.000,00 e, 1 ano após, R$60.000,00. Determine o valor do capital no instante t. Suponha t em anos.

7. (Decaimento radioativo) Um material radioativo se desintegra a uma

taxa proporcional a m, onde m = m(t) é a quantidade de matéria no

instante t. Supondo que a quantidade inicial (em t = 0) de matéria seja m e que 10 anos após já tenha se desintegrado da quantidade 0

inicial, pede-se o tempo necessário para que a metade da quantidade inicial se desintegre.

8. Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com aceleração proporcional

à velocidade. Admitindo-se v(0) = 3, v(1) = 2 e x(0) = 0, determine a posição da partícula no instante t.

9. Determine a função y = f(x), x > 0, cujo gráfico passa pelo ponto (1,

2) e que goza da propriedade: a área do triângulo de vértices (0, 0), (x, y) e (0, m), m > 0 é igual a 1, para todo (x, y) no gráfico de f, onde (0, m) é a interseção da reta tangente em (x, y) com o eixo y.

 

10.5 EQUAÇÃO DE BERNOULLI

A equação

hoje chamada equação de Bernoulli foi estudada nos fins do século XVII pelos irmãos Jacques (1654-1705) e Jean Bernoulli (1667-1748) e, também, por Leibniz (1646-1716). (Veja referência bibliográfica 9, pág. 307.) Trata-se de uma equação não linear, mas que se transforma, com uma conveniente mudança de variável, numa linear.

 

Para y ≠ 0, tal equação é equivalente a

 

Agora, com a mudança de variável u = y 1 − α, y = y(x), a equação se transforma numa equação linear. De fato, pela regra da cadeia

 

Substituindo em obtemos a equação linear

 

Equação de Bernoulli

 

Para y ≠ 0, tal equação é equivalente a .

Com a mudança de variável u = y 1 − α, y = y(x), a equação de Bernoulli se transforma na equação linear

Soluções da equação de Bernoulli

 

 

com f(x) e g(x) definidas e contínuas num mesmo intervalo aberto I.

Solução constante. Se α > 0 a equação admitirá a solução constante y(x) 0, x em I.

Soluções não constantes.

1.º passo. Multiplica-se os dois membros por y−α. 2.º passo. Faz-se a mudança de variável u = y 1−α, y = y(x).

 

EXEMPLO. Resolva a equação .

 

Solução

Trata-se de uma equação de Bernoulli, onde f(x) = 1, g(x) = e−3 e α = 4. x

A função constante y(x) = 0 é uma solução. Para obter as soluções não constantes, vamos multiplicar os dois membros por y −4 e, em seguida, fazer a mudança de variável u = y−3 −4 . Multiplicando por y obtemos

 

Fazendo, agora, a mudança de variável u = y −3 e lembrando que

obtemos a equação linear

Pela fórmula que fornece as soluções da equação linear, temos

 

 

ou seja

u = [k − 3x]e−3 . x

De u = y−3, segue que a família das soluções da equação dada é

 

Exercícios 10.5

 

1. Resolva as equações de Bernoulli

 

2. Há um modelo para variação populacional em que se supõe que a

taxa de variação da população no instante t seja proporcional à população neste instante, com coeficiente de proporcionalidade λ = α − β, sendo β o coeficiente de natalidade e β o de mortalidade. Desse modo, a variação da população p = p(t) é regida pela equação linear

Suponha que a população no instante t = 0 seja p . 0

a) O que acontece com a população se α = β?

Sendo, α ≠ β determine a população no instante t. O que

b) acontecerá com a população se α > β? E se α < β?

3. Considerando fatores inibidores para a variação da população, foi

proposta uma modificação para o modelo do exercício anterior, onde se supõe então um nível máximo que a população possa

atingir e que há um fator inibidor proporcional ao quadrado da população e com coeficiente Então, neste modelo, a variação da

população é regida pela equação de Bernoulli , onde se

supõe λ > 0. Suponha que a população no instante t = 0 seja p . 0

a) Resolva a equação.

b) Supondo p < γ, para que valor de p a taxa de variação é 0

máxima? Qual o valor máximo para esta taxa de variação?

c) Em que instante t o valor da taxa de variação é máximo?

4. Um outro modelo para a variação populacional e dado, também, por

uma equação de Bernoulli é , onde se

supõe que é o valor máximo para a população. Supondo

p(0) = p , resolva a equação. 0

5. (Equação de von Bertalanffy) A equação de Bernoulli é

um modelo usado para a variação do peso p = p(t) de uma espécie de peixe, onde e são constantes positivas e que dependem da espécie em estudo. Suponha p(0) = 0. (O peixe ao nascer é tão pequeno que o seu peso é quase zero.) Resolva a equação. Esboce o gráfico da solução destacando o intervalo onde o peso está variando a taxa crescente e aquele em que o peso está variando a taxa decrescente. Interprete os resultados.