Um Curso de Cálculo, Volume 4
3.5 Critério de Raabe
Prove que Utilize, então, o critério da raiz para
d) concluir a convergência da série.
e) Compare a e d com Exercício 6-1.1.
3.5. CRITÉRIO DE RAABE
Critério de Raabe. Seja a série , com a > 0 para todo n
natural n. Suponhamos que existe, finito ou
infinito. Seja
Nestas condições, tem-se:
a) é convergente.
b) é divergente.
c) L = 1 o critério nada revela.
Antes da demonstração, vejamos o seguinte exemplo.
EXEMPLO. Utilizando o critério de Raabe, verifique que a série
é convergente.
Solução
Temos
Segue que
Pelo critério de Raabe, a série é convergente. (Observe que
logo, o critério da razão nada revela sobre a convergência
ou divergência da série.)
■
Vamos, agora, demonstrar o critério de Raabe.
a) Da hipótese segue que, tomando-se 1 < α < L, existe um natural p ≥ q tal que, para todo k ≥ p,
Pelo Exemplo 4 da Seção 3.3, a série é convergente.
b) Fica para o leitor. (Sugestão: Utilizar o Exemplo 3 da Seção 3.3.)
c) Fica para o leitor verificar que quando
ou e observar que é divergente e
é convergente.
Exercícios 3.5
1. Mostre que a série é divergente.
2. A série é convergente ou divergente?
Justifique.
3. Seja α um real dado, com 0 < α < 1. Mostre que a série
é convergente. (Cuidado! Esta série não é alternada.)
4. Seja α um real dado, com 0 < α < 1. Utilizando 3, conclua que
5. Seja α um real dado, com 0 < α < 1. Prove que
é uma série alternada convergente.
6. Seja α um real dado, com α não natural. Prove que a série
é convergente para α > 0 e divergente para α < 0.
7. Seja a , k ≥ 0, uma sequência de termos estritamente positivos tal que k
a) Prove que existe um natural m tal que é convergente.
b) Conclua que
8. Seja a , k ≥ 0, uma sequência de termos estritamente positivos tal que k
9. Considere a sequência a , k ≥ 1, dada por k
onde α é um real dado, com α não natural. Mostre que