A2.3 Demonstração do teorema da Seção 9.4

Como vimos, a série do 2.º membro converge uniformemente em todo intervalo fechado [a, π], com 0 < a < π. Segue do teorema sobre derivação termo a termo que a série é derivável termo a termo em todo intervalo [a, π], com 0 < a < π, e, portanto, derivável termo a termo para todo x ∈ ]0, π], ou seja,

para todo x ∈ ]0, π]. Como, neste intervalo, , resulta

sendo a convergência uniforme em todo intervalo [a, π], com 0 < a < π. Da mesma forma, conclui-se que

sendo a convergência uniforme em todo intervalo [−π, −a], com 0 < a < π.

A2.3. DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DA SEÇÃO

9.4

Teorema. Seja f : → periódica com período 2 π e de classe

C2 por partes em [−π, π]. Sejam a , n ≥ 0, e b , n ≥ 1, os

n n

coeficientes de Fourier de f. Então, para todo x real, tem-se

se f for contínua em x;

se f não for contínua em x.

Além disso, a convergência será uniforme em todo intervalo

fechado em que a f for contínua.

Demonstração

Faremos a demonstração apenas para o caso em que a única descontinuidade de f no intervalo [−π, π] seja a origem. Suponhamos, então, que f seja dada por

onde f 2 : [−π, 0] → e f : [0, π] → são de classe C e tais que

1 2

f (−π) = f (π) 1 2

Seja h : [−π, π] → dada por

Conforme vimos na seção anterior, para x ∈ [−π, π],

sendo a convergência uniforme em todo conjunto da forma [−π, −a] ⋃ [a, π], com 0 < a ≤ π.

A única descontinuidade da f no intervalo [−π, π] é em x = 0. O que faremos, a seguir, é eliminar esta descontinuidade subtraindo de f a função h. Consideremos, então, a função

g: [−π, π] →

dada por

g (x) = f (x) − h (x).

A função g é contínua, de classe C2 por partes e tal que g (−π) = g (π). (Confira.) Segue que, para todo x ∈ [−π, π] (veja teorema da Seção 9.3),

onde

e

sendo a convergência uniforme em [−π, π]. Observe que a série de Fourier que ocorre no 2.º membro de converge para g (0) = f (0) − h (0) = 0. Como

pois a restrição de h ao conjunto [−π, 0[ ⋃ ]0, π] é uma função ímpar, resulta que

Segue de e que, para todo x ∈ [−π, π],

e

Segue que, para todo x ∈ [−π, π], com x ≠ 0,

onde

e Logo, a série que ocorre em é a série de Fourier de f. Para x = 0, a série que ocorre em converge para 0, pois as que ocorrem em e em

convergem para 0. Observe que

Conclusão. A série de Fourier de f converge para f (x) se f for contínua em x e para

se f não for contínua em x. Como a série converge uniformemente em todo conjunto da forma [−π, −a] ⋃ [a, π], com 0 < a π, e a série uniformemente em [−π, π], resulta que a série que ocorre em converge uniformemente em todo conjunto da forma [−π, −a] ⋃ [a,π], com 0 < a < π. Por razão de periodicidade a série que ocorre em converge

uniformemente em todo intervalo fechado em que f for contínua.

Basta, neste caso, considerar a função

g: [−π, π] →

dada por

g (x) = f (x) − αh (x)

e proceder como no caso anterior.