3.3 Critério de comparação de razões

c) Mostre que a série alternada

 

 

é convergente. (Observe que

 

para todo n ≥ 1.)

 

3.3. CRITÉRIO DE COMPARAÇÃO DE RAZÕES

Os principais critérios para estudo de convergência e divergência de séries de termos positivos, que serão estabelecidos nas próximas seções, são consequências do importante critério de comparação de razões. Este critério é sugerido pela progressão geométrica.

 

Critério de Comparação de Razões. Sejam duas

séries de termos positivos. Suponhamos que exista um natural p tal que, para k ≥ p,

 

Nestas condições, tem-se

Demonstração

 

Segue da hipótese que, para k ≥ p,

 

e, portanto, a sequência é decrescente. Daí, para k ≥ p, temos

 

e, portanto, para todo k ≥ p,

 

Agora é só aplicar o critério de comparação.

■

 

EXEMPLO 1. Considere a série de termos positivos e suponha que

existem um real r e um natural p, com 0 < r < 1, tais que, para todo k ≥ p,

Prove que a série é convergente.

Solução

 

Consideremos a série geométrica Tal série é

convergente, pois 0 < r < 1. De segue, para todo k ≥ p,

 

Pelo critério de comparação de razões, a série é convergente.

 

■

 

EXEMPLO 2. Considere a série de termos positivos e suponha que

existe um natural p tal que, para todo k ≥ p, Prove que a série

é divergente.

 

Solução

 

Consideremos a série com b = 1 para todo k ≥ 0. Tal série é k evidentemente divergente e, para todo k ≥ p,

 

Pelo critério de comparação de razões, a série é divergente.

 

■

EXEMPLO 3. Considere a série de termos positivos e suponha que

existe um natural p > 1, tal que, para todo k ≥ p, tem-se

 

Prove que a série é divergente.

 

Solução

 

é equivalente a onde

resulta que, para todo k ≥ p, Como a série

é divergente (pois trata-se da série harmônica de ordem 1), pelo critério de

comparação de razões, a série é divergente.

■

Antes de passarmos ao próximo exemplo, observamos que se α é um real dado, com α > 1, então, para todo x ≥ −1, (1 + x)α ≥ 1 + αx. (É só observar que o gráfico de f(x) (1 + x)α, x ≥ −1, tem a concavidade voltada para cima em ] −1,+∞ [ e que y 1 + αx é a reta tangente ao gráfico de f no ponto (0, 1).)

 

EXEMPLO 4. Considere a série de termos positivos e suponha que

existem um real α > 1 e um natural p > 1 tais que, para todo k ≥ p,

Prove que a série é convergente.

Solução

 

é equivalente a Do que dissemos acima,

segue que, para todo k ≥ 1, Como

 

onde resulta e, portanto, a série é

convergente, uma vez que a série é convergente por tratar-se de uma

série harmônica de ordem α > 1.

■

 

EXEMPLO 5. Considere as séries de termos positivos

onde (Observe que o Exemplo 1 da Seção 3.1 nos

conta que a série divergente.)

 

a) Mostre que é equivalente a

 

b) Mostre que

implica a 2.ª desigualdade do item a.

c) Conclua que, se existe um natural p ≥ 3 tal que, para todo k ≥ p,

 

então a série é divergente.

 

Solução

a) Fica para o leitor.

b) Inicialmente, observamos que, para todo x > −1, ln (1 + x) < x. (Para se convencer deste fato é só observar que o gráfico de f(x) = ln (1 + x) tem concavidade voltada para baixo e que y = x é a reta tangente ao gráfico de f no ponto (0, 0).) Segue que, para k ≥ 2, ln e, portanto,

Logo, a desigualdade deste item implica a 2.ª desigualdade

do item a.

c) Tendo em vista os itens a e b, resulta que, para todo

e portanto, a série é divergente, uma vez que é divergente.

 

■

 

EXEMPLO 6. Considere as séries de termos positivos

onde (Observe que o Exemplo 2 da

Seção 3.1 nos conta que a série , com α > 1, é

convergente.)

 

a) Mostre que é equivalente a

 

b) Suponha que existe um natural p ≥ 3 tal que, para todo k ≥ p,

 

Mostre que existe um natural q ≥ p tal que a 2.ª desigualdade do item a se verifica para k ≥ q.

c) Conclua que se existe um real α > 1 e um natural p ≥ 3 tais que, para todo k ≥ p,

 

então a série é convergente.

Solução

a) Fica para o leitor.

 

b) De segue que Como α > 1,

re sulta que existe q ≥ p tal que, para k ≥ q,