Um Curso de Cálculo, Volume 4
4.3 Reordenação de uma série
exista, finito ou infinito. Seja Prove.
será convergente.
a série será divergente.
4.3. REORDENAÇÃO DE UMA SÉRIE
Seja a série uma função bijetora, o que significa
que φ é injetora e Im denomina-se uma
reordenação da série
Observe que sendo uma reordenação de tem os
mesmos termos que , só que numa outra ordem. Por exemplo, a série
é uma reordenação da série
Teorema. Seja uma reordenação da série
for absolutamente convergente, então será, também,
absolutamente convergente e
Demonstração
Para todo n ≥ 0,
Segue que a série é convergente, o que significa que é
absolutamente convergente, logo, convergente. Provemos, agora, que
Seja . Daí e pelo fato de ser absolutamente convergente,
segue que dado > 0, existe um natural n tal que 0
(Pelo fato de ser convergente, resulta e, portanto,
para todo > 0, existe n tal que 0
Seja, agora, m um natural tal que 0
{ φ(0), φ(1), φ(2), ..., φ(m )} ⊃ {0, 1, 2, ..., n }. 0 0
Segue que, para todo m ≥ m , 0
(Lembre-se de que b = a : b = a , b = a , b = a etc.) Então, para k φ(k) 0 φ(0) 1 φ(1) 2 φ(2) todo m ≥ m , 0
ou seja,
Dizemos que uma série convergente, com soma s, satisfaz a “propriedade comutativa” se toda reordenação dela for convergente, com soma s. O teorema anterior nos diz que toda série absolutamente convergente satisfaz a propriedade comutativa. Existem séries convergentes que não satisfazem a propriedade comutativa!
Exercícios 4.3
1. Considere a série . Já sabemos que esta série é
convergente e tem por soma ln 2.
a) Mostre que existe uma reordenação desta série com soma 10.
(Observe que
b) Mostre que existe uma reordenação desta série com soma s, onde
s é um real qualquer.
c) Mostre que existe uma reordenação com soma +∞ e outra com
soma -∞.
(Sugestão: Se você pensou, pensou e não conseguiu resolver o item a, olhe, então, a resposta. Mas, antes de olhar a resposta pense mais um pouco. Boa sorte!)
2. Verifique que
Observe que a série que ocorre no 2.º membro é uma reordenação da série
(Sugestão:
e
Somando membro a membro...)
3. (Teorema de Riemann.) Prove que se for condicionalmente
convergente e se s for um real qualquer, então existirá uma reordenação desta série com soma s.