11.5 Determinação de solução particular pelo método da variação das constantes

permanente.

(Sugestão: Veja Exemplo 13.)

8. Determine a solução que satisfaz as condições iniciais dadas.

9. Determine a solução geral

11.5. DETERMINAÇÃO DE SOLUÇÃO PARTICULAR

PELO MÉTODO DA VARIAÇÃO DAS

CONSTANTES

Consideremos a equação diferencial linear de 2.ª ordem, não homogênea, com coeficientes constantes,

Como sabemos, a solução geral da homogênea associada é

onde se as raízes da equação característica forem

reais e distintas; se a raiz for dupla;

se α ± iβ forem as raízes complexas da

equação característica.

A função dada pelo determinante

denomina-se wronskiano de g e g . Deixamos a seu cargo verificar que se 1 2 g (t), g (t) for qualquer um dos pares acima mencionados, então o 1 2

wronskiano nunca se anulará, isto é, para todo t ∈ ,

Nosso objetivo a seguir é estabelecer uma fórmula para a determinação de uma solução particular de . Vamos mostrar, precisamente, que

qualquer solução particular de é dada pela fórmula:

O método que iremos utilizar para obtenção desta fórmula é conhecido como método da variação das constantes e é devido a Lagrange. Este método consiste em substituir, na solução geral da homogênea associada, as constantes A e B por funções A (t) e B (t), a serem determinadas, de modo que

seja uma solução particular de . Temos

Para determinar A (t) e B (t) vamos construir um sistema com duas equações, onde as incógnitas serão as funções A' (t) e B' (t). A primeira equação de tal sistema será

A' (t) g (t) + B' (t) g (t) = 0. 1 2

Estamos impondo, assim, uma condição sobre A (t) e B (t). Com esta condição a derivada se reduz a

Temos, então,

e

Como g e g são soluções da homogênea associada, resulta 1 2

A segunda equação do nosso sistema será

Vamos, então, determinar A (t) e B (t) que tornem compatível o sistema

Resolvendo o sistema pela regra de Cramer, obtemos

Daí

Substituindo em , resulta a fórmula desejada. Com procedimento

análogo, estende-se esta fórmula para equações lineares de ordens n > 2.

EXEMPLO. Determine a solução geral de

Solução

x = A cos t + B sen t h

é a solução geral da homogênea associada. O wronskiano de g (t) = cos t e 1 g (t) = sen t é 2

Pela fórmula anterior,

Temos

ou seja,

por outro lado,

Tomando k = k = 0, temos a solução particular 1 2

x = − cos t ln (sec t + tg t). p

A solução geral da equação dada é, então,

x = A cos t + B sen t − cos t ln (sec t + tg t).

■

Observação. Se tivéssemos deixado k e k quaisquer, seria a solução 1 2 geral da equação dada. Em realidade, a fórmula anterior fornece-nos todas as soluções particulares de , ou seja, tal fórmula fornece a solução geral de .