Um Curso de Cálculo, Volume 4
13.6 Equação de Euler de 2.ª ordem
y″ = φ(x) u + 2 φ′(x) u′ + φ(x) u″.
Substituindo na equação dada e lembrando que φ(x) é solução, resulta
φ(x) u″ + (p (x) φ(x) + 2 φ′ (x)) u′ = 0.
Fazendo v = u′, obtemos
φ(x) v′ + (p (x) φ(x) + 2 φ′(x)) v = 0,
que é uma equação diferencial linear de 1.ª ordem.
■
13.6. EQUAÇÃO DE EULER DE 2.ª ORDEM
Uma equação do tipo
onde b e c são constantes reais dadas, denomina-se equação de Euler. Como se trata de uma equação diferencial linear, homogênea e de 2.ª ordem, a solução geral é a família das combinações lineares de duas soluções linearmente independentes. Vamos, então, procurar duas soluções linearmente independentes. O jeito da equação nos sugere tentar solução do tipo
y = xα,
onde π é um real ou complexo a determinar. Quando α é complexo, definimos
xα α In = e , x > 0. x
Do Apêndice 1 do Vol. 2 resulta
Temos
y′ = αx α − 1 α − 2 e y″ = α(α − 1) x.
Substituindo em e simplificando, obtemos
que é uma equação polinomial do 2.º grau. Tal equação denomina-se
equação indicial de . Sejam α e α as raízes de 1. 1 2
1.º Caso. α e α são reais e distintas. 1 2
A solução geral de é
2.º Caso. α = α 12
φ α (x) = x
1 1
é uma solução. Procedendo-se como no Exemplo 1 da seção anterior, obtém-se a solução
φ α (x) = x In x.
2 1
A solução geral de é
Antes de passarmos ao 3.º caso, observamos que se y = φ (x) + i φ (x) 1 2 for solução de , então φ (x) e φ (x) também serão. (Verifique.) 1 2
3.º Caso. α e α são complexas 1 2
Seja
α = α + iβ. 1
Assim,
y = xα+iβ (α+iβ)In α iβ In x = e = x e x
é solução. De
eiβ in x = cos(β In x) + i sen(β In x)
e da observação acima, resulta que
φ (x) = xα cos (β In x) 1
e
φ (x) = xα sen (β In x) 2
são soluções. É de imediata verificação que são linearmente independentes. A solução geral é