12.5 Sistemas não homogêneos: determinação de solução particular pelo método das variações das constantes

12.5. SISTEMAS NÃO HOMOGÊNEOS:

DETERMINAÇÃO DE SOLUÇÃO PARTICULAR

PELO MÉTODO DAS VARIAÇÕES DAS

CONSTANTES

Nesta seção, vamos estabelecer um método para resolver um sistema com duas equações diferenciais lineares, de 1.ª ordem, com coeficientes constantes e não homogêneas. Tal método se estende sem nenhuma mudança a sistemas com três ou mais equações.

Consideremos o sistema não homogêneo

 

onde f(t) e g(t) são duas funções dadas, definidas e contínuas num mesmo intervalo I. Deixamos a seu cargo verificar que a solução geral de é

 

onde

 

é a solução geral da homogênea associada

 

e uma solução particular de .

Determinar a solução geral da homogênea associada já sabemos. Vamos, agora, aprender a determinar uma solução particular pelo método das variações das constantes ou de Lagrange.

Sejam, então,

 

duas soluções do sistema homogêneo associado e tais que, para todo t real,

 

Como o determinante acima é diferente de zero, para todo t real, a matriz

 

é inversível. Uma tal matriz denomina-se uma matriz fundamental para o sistema . Provaremos, no final da seção, o seguinte resultado.

 

Uma solução particular de é dada por

 

onde as funções c (t) e c (t) são dadas por 1 2

EXEMPLO 1. Resolva

 

Solução

 

é a solução geral do sistema homogêneo associado. (Verifique.) Uma solução particular é dada por

 

onde c (t) e c (t) são dadas por 1 2

 

Temos

 

Daí,

 

Segue que

e

 

Assim,

 

A solução geral é

 

■

 

EXEMPLO 2. Resolva

 

Solução

Vamos transformar em um sistema.

 

A solução geral do sistema homogêneo associado é

Uma solução particular é dada por

 

onde c (t) e c (t) são dadas por 1 2

 

Temos

 

Segue que

 

e

 

Daí,

 

Portanto,

EXEMPLO 3. Determine a solução geral de

 

 

e faça um esboço das trajetórias das soluções para t → + ∞

Solução

A solução do sistema homogêneo associado é

 

Uma solução particular é dada por

 

onde

 

Temos

 

Segue que

e

 

 

Assim,

 

é uma solução particular. A solução geral do sistema dado é

 

Observe que

 

Daí, para toda solução

 

do sistema, tem-se

o que significa que, quando t → + ∞, o ponto (x (t), y (t)) vai aproximando-se cada vez mais da imagem da solução particular (cos t, sen t).

Em virtude de a parte

 

da solução denomina-se transiente. Neste caso, é comum referir-se a

 

como a solução de estado permanente.

■

 

Para finalizar a seção, vamos provar o método das variações das constantes ou de Lagrange. Para facilitar as coisas, escreveremos o sistema

na forma

onde

 

 

Sejam

 

duas soluções do sistema homogêneo associado com wronskiano diferente de zero em t = 0. Assim,

 

Vamos, então, procurar uma solução particular de da forma

 

onde c (t) e c (t) são duas funções a valores reais a serem determinadas. 1 2

Podemos escrever na forma

 

Temos

 

Substituindo e em e tendo em vista , resulta Esta expressão é equivalente a

 

como se verifica facilmente. Segue daí que

 

que é o que queríamos provar.

De forma inteiramente análoga prova-se que, sendo

 

três soluções do sistema homogêneo associado a

 

e com wronskiano diferente de zero, em t 0, então uma solução particular de

é dada por

 

onde

Generalize.

 

EXEMPLO 4. Considere a equação diferencial linear, não homogênea, com coeficientes constantes e de 3.ª ordem

 

e sejam x = x (t), x = x (t) e x = x (t), t ∈ , três soluções da homogênea 1 2 3 associada e com wronskiano

 

para todo t. Mostre que

x = c (t)x (t) + c (t)x (t) + c (t)x (t) p 1 1 2 2 3 3

é uma solução particular da equação dada, onde c (t), c (t) e c (t) são dadas 1 2 3 por

 

Solução

Fazendo nossa equação é equivalente

ao sistema não homogêneo

Sendo x = x (t), x = x (t) e x = x (t) soluções da equação homogênea 1 2 3 associada , então

 

 

são três soluções de com wronskiano diferente de zero. Sendo

 

segue que

 

é uma solução particular de e, portanto,

x = c (t) x (t) + c (t) x (t) + c (t) x (t) p 1 1 2 2 3 3

é uma solução particular de .

■

 

Exercícios 12.5

1. Determine uma solução particular

 

2. Determine a solução geral de cada um dos sistemas do exercício

anterior.

3. Considere o sistema

 

Faça um esboço das trajetórias das soluções para t > 0 suficientemente grande. Interprete.

4. Faça um esboço das trajetórias das soluções para t > 0

suficientemente grande.