13 Equações diferenciais lineares de 2ª ordem, com coeficientes variáveis

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

LINEARES DE 2.ª ORDEM, COM

COEFICIENTES VARIÁVEIS

 

13.1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2.ª

ORDEM, COM COEFICIENTES VARIÁVEIS E

HOMOGÊNEAS

Sejam a (x), b (x) e c (x) funções dadas, definidas e contínuas num mesmo intervalo I. Uma equação diferencial linear de 2.ª ordem, homogênea, com coeficientes variáveis é uma equação do tipo

a (x) y″ + b (x) y′ + c (x) y = 0.

As funções a (x), b (x) e c (x) são denominadas coeficientes da equação. Se tais funções forem constantes, a equação acima será, então, uma equação diferencial linear de 2.ª ordem, homogênea, com coeficientes constantes, já estudadas anteriormente. No que segue, suporemos a (x) ≠ 0 em I; deste modo a equação acima poderá ser colocada na forma

As equações y″ + xy′ + y = 0 e y″ = exy = 0 são exemplos de equações diferenciais lineares de 2.ª ordem, homogêneas, com coeficientes variáveis. Por outro lado, a equação y″ = yy′ é de 2.ª ordem, mas não linear.

Sejam y = f (x) e y = g (x), x ∈ I, duas soluções de . Deixamos a seu cargo verificar que a função dada por

 

será, também, solução de , quaisquer que forem os reais A e B dados. Isto significa que qualquer combinação linear de duas soluções de é,

também, solução de . Provaremos mais adiante que se f e g satisfizerem determinadas condições, então será a solução geral de , isto é, a família de soluções conterá todas as soluções de .

A seguir, vamos resolver no caso em que a função q (x) seja

identicamente nula em I. Neste caso, a equação se reduz a

y″ = p (x) y′ = 0.

Fazendo y′ = u, a equação se transforma na linear de 1.ª ordem

u′ + p (x) u = 0,

cuja solução geral é

 

onde está representando uma particular primitiva de p (x).

Segue que

daí

 

EXEMPLO 1. Resolva a equação

 

Solução

Façamos y′ = u, onde u = u (x). Segue que

 

cuja solução geral é

 

Como

 

resulta

 

e, portanto, A solução geral da equação dada é, então,

y = A ln x + B.

(Se tivéssemos feito a restrição x < 0, a solução geral seria

y = A ln (−x) + B.

■

 

Vamos agora enunciar, sem demonstração, o seguinte importante teorema. (Para demonstração, veja referências bibliográficas 26 e 29.)

 

Teorema (de existência e unicidade para equação do tipo y″ =

p (x) y′ + q (x) y = 0). Sejam p (x) e q (x) definidas e contínuas no

intervalo I. Sejam x , y e y números reais quaisquer dados, com x 0 0 10 ∈ I. Nestas condições, a equação

y″ = p (x) y′ + q (x) y = 0

admite uma solução y = y (x) definida em I e satisfazendo as condições iniciais

y (x ) = y e y′ (x ) = y . 0 0 0 1

Além disso, se y = φ (x) for outra solução definida num intervalo J,

com x ∈ J ⊂ I, e satisfazendo as mesmas condições iniciais 0

φ (x ) = y e φ′ (x ) = y , 0 0 0 1

então

φ (x) = y (x)

para todo x ∈ J.

 

EXEMPLO 2. Considere a equação

y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0

com p e q contínuas no intervalo I. Seja y = f (x), x ∈ I, uma solução desta equação satisfazendo as condições iniciais

 

f(x ) = 0 e f′ (x ) = 0 0 0

para algum x ∈ I. Prove que, para todo x ∈ I, f (x) = 0. 0

Solução

A função constante g (x) = 0, x ∈ I, é solução da equação e satisfaz as condições iniciais

g (x ) = 0 e g′ (x ) = 0. 0 0

Segue do teorema anterior que, para todo x ∈ I, f (x) = g (x), ou seja,

f (x) = 0 em I.

■

Exercícios 13.1

 

1. Resolva.

 

2. Determine a solução da equação

(1 + x 2) y″ + 2xy′ = 0

que satisfaz as condições iniciais y (0) = 1 e y′ (0) = 1.

3. Determine a solução da equação

 

que satisfaz as condições iniciais y (2) = 0 e y′ (2) = 1.

4. Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo Ox sob a ação

de uma força que depende do tempo t e da velocidade v dada por

Sabe-se que no instante t = 0 a partícula encontra-se

na posição x = x e, neste instante, sua velocidade é v = v , com v ≠ 0. 0 0 0 Verifique que a partícula descreve um movimento uniformemente acelerado, com aceleração v . 0

5. Sejam y = f (x) e y = g (x), x ∈ I, soluções da equação

y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0,

onde p e q são supostas contínuas em I. Suponha que f′ (x ) = g′ (x ) = 0 0 0 e g (x ) ≠ 0 para algum x ∈ I. Prove que existe um real α tal que, 0 0 para todo x ∈ I, f (x) = α g (x).

(Sugestão: Tome α tal que f (x ) = α g (x ). Aplique o Exemplo 2 à 0 0 solução h (x) = f (x) − α g (x).)

6. Suponha que y = φ (x), x ∈ I, seja uma solução da equação do

exercício anterior. Sejam x e x no intervalo I tais que φ (x ) ≠ 0 e φ 0 1 0 (x ) = 0. Prove que (x ) ≠ 0. 1 1

7. Considere a equação

y″ − (x2 + 1) y = 0.

Seja y = f (x), x ∈ , uma solução. Suponha que existam números reais x e x tais que f (x ) = 0 e f (x ) ≠ 0. Prove que x é ponto de 0 1 0 1 0 inflexão.

8. Considere a equação

 

Uma função y = f (x), 0 < x < 1, cujo gráfico tenha o aspecto abaixo, pode ser solução? Por quê?

9. Considere a equação

 

onde p e q são supostas definidas e contínuas no intervalo I.

a) Os gráficos de duas soluções distintas podem interceptar-se? Dê

exemplos.

b) Sejam y = f (x) e y = g (x), x ∈ I, duas soluções distintas de .

Suponha que os gráficos de f e g interceptem-se num ponto de

abscissa x . Neste ponto, os gráficos de f e g podem admitir a 0

mesma reta tangente? Por quê?

10. Suponha que y = f (x), x ∈ I, seja uma solução, diferente da solução

nula, da equação

y″ + q (x) y = 0,

onde q (x) é suposta contínua em I e, para todo x ∈ I, q (x) < 0. Prove que f (x) poderá anularse no máximo uma vez no intervalo I.

11. y = sen x, x ∈ , pode ser solução de alguma equação do tipo

y″ + q (x) y = 0,

onde q (x) é suposta contínua e estritamente menor que zero em ? Por quê? (Sugestão: Veja Exercício 10.)

12. Seja y = f (x), x ∈ I, uma solução da equação

y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0,

onde p (x) e q (x) são supostas contínuas no intervalo I. Prove que se f (x) se anular um número infinito de vezes num intervalo [a, b] contido em I, então f será identicamente nula em I. (Sugestão: Verifique que existe x em [a, b] tal que f (x ) = f′ (x ) = 0. Para obter 0 0 0 x , construa uma sequência [a , b ], n ≥ 1, de intervalos satisfazendo a 0 n n propriedade dos intervalos encaixantes (veja Vol. 1) e tal que, para todo n, existem s e t em [a , b ], com f (s ) = 0 e f (t ) = 0.) n n n n n n

13. A função → dada por

 

pode ser solução de alguma equação do tipo

y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0

com p e q contínuas em ? Por quê? (Sugestão: Veja Exercício 12.)

14. Existe equação do tipo y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0, com p e q contínuas

em , que admita y x2, x ∈ , como solução? Explique.

15. Determine uma equação do tipo y″ + p (x) y′ + q (x) y = 0 que admita

y = x2, x > 0 e como soluções.