Um Curso de Cálculo, Volume 4
10 Equações diferenciais de 1ª ordem
10
E a QUAÇÕES D IFERENCIAIS DE 1.
ORDEM
10.1 a E QUAÇÃO D IFERENCIAL DE 1. ORDEM
Por uma equação diferencial de 1.a ordem entendemos uma equação do tipo
onde F(x, y) é uma função definida em um aberto Ω do 2. Uma função y = y(x) definida em um intervalo aberto I é uma solução dessa equação se, para todo x em I, ocorrer
y′(x) = F(x, y(x)).
EXEMPLO 1. Verifique que é uma solução da equação
diferencial 2 . (Aqui F(x, y) = 2xy e Ω = .)
Solução
Precisamos verificar que sendo , a igualdade se verifica
para todo x.
Para todo x, temos
Assim, , x em , é uma solução da equação dada.
■
EXEMPLO 2. Determine uma solução y = y(x) da equação que
satisfaça a condição inicial y(0) = 2. (Aqui F(x, y) = 3x + 5.)
Solução
O que queremos aqui é uma função y = y(x), com y(0) 2, cuja derivada seja 3x + 5. Então, constante, é solução
da equação. Segue que é uma solução satisfazendo a
condição dada.
■
EXEMPLO 3. Determine uma função y = y(x), com y(1) = 2, que satisfaça a seguinte propriedade: o coeficiente angular da reta tangente no ponto de abscissa x é igual ao produto das coordenadas do ponto de tangência.
Solução
O coeficiente angular da reta tangente no ponto de abscissa x é y′ (x) e o ponto de tangência é (x, y(x)). Devemos ter, então,
y′ (x) = xy(x).
Assim, a função que queremos determinar é uma solução da equação diferencial
Tendo em vista a condição y(1) = 1, podemos supor y(x) > 0 para todo x no domínio I da função, sendo I um intervalo. Segue que, para todo x em I, devemos ter
Lembrando que (ln , teremos
Segue que existe uma constante k tal que
(Lembre-se: duas funções que têm derivadas iguais em um intervalo, neste intervalo, elas diferirão por uma constante.) Da condição y(1) = 1 segue que
Conclusão: qualquer, resolve o problema.