6.3 Continuidade, integrabilidade e derivabilidade de função dada como limite de uma sequência de funções

(Sugestão: Verifique que o valor máximo de f em [0, 1] tende a n +∞quando n tende a +∞.)

c) Verifique que

 

7. Mesmo exercício que o anterior onde f , n ≥ 1, é dada por f (x) = n n

nxe− 2.

nx

 

6.3. CONTINUIDADE, INTEGRABILIDADE E

DERIVABILIDADE DE FUNÇÃO DADA COMO

LIMITE DE UMA SEQUÊNCIA DE FUNÇÕES

As demonstrações dos teoremas que enunciaremos a seguir serão feitas na Seção 6.5. Consideremos a sequência de funções f n (x) = x. Já vimos que

n

f (x) = f(x) n

onde

 

Observe que cada f é contínua em x = 1; entretanto, f não é contínua neste n

ponto.

Seja f uma sequência de funções que converge a f em B. O próximo n

teorema fornecenos uma condição suficiente para que a continuidade das fn se transfira para a f.

 

Teorema 1. Seja f uma sequência de funções e seja f : B → n

dada por

 

Suponhamos que f convirja uniformemente a f em B. Nestas n

condições, se cada f for contínua em x ∈ B, então f será, também, n 0 contínua em x . 0

 

Observações

1. Segue do teorema acima, se cada f for contínua em B e se a sequência f nn

convergir uniformemente a f em B, onde f : B → , então f será contínua

em B.

2. Seja f : B → dada por f (x) = f (x) e seja x ∈ B. Se cada f for n 0 n

contínua em x e se f não for contínua neste ponto, então a convergência 0

de f a f não é uniforme. n

O próximo teorema fornece-nos uma condição suficiente para que os símbolos possam ser permutados.

 

Teorema 2. Seja f : [a, b] → dada por

 

f (x) = f (x) n

onde cada f é suposta contínua em [a, b]. Nestas condições, se f nn convergir uniformemente a f em [a, b], então

 

ou seja,

 

Observações:

1. Pode ser provado que o teorema acima continua válido se a hipótese “fn

contínua em [a, b]” for substituída por “f integrável em [a, b]”. n 2. Seja f : [a, b] → dada por f (x) = f (x) onde cada f é integrável n n

em [a, b]. Se

 

então a convergência de f a f não é uniforme em [a, b]. n

O próximo teorema fornece-nos uma condição suficiente para que os símbolos e possam ser permutados.

 

Teorema 3. Seja f 1 uma sequência de funções de classe C no

n

intervalo I e sejam f e g funções de I em dadas por

f (x) = f (x) n

e

 

Nestas condições, se a sequência de funções convergir uniformemente a g em I, então, para todo x ∈ I,

f′ (x) = g (x),

ou seja,

 

Observe que no teorema anterior não se exige que f convirja n uniformemente a f ; o que se exige é convergência uniforme de a g em I.

Exercícios 6.3

 

1. Seja f : → dada por f (x) = . Utilizando o Teorema 1,

mostre que a sequência de funções f (x) = , n ≥ 1, não n

converge uniformemente a f em .

(Sugestão: Utilize a Observação 2 que vem logo após o Teorema 1 desta seção.)

2. Dê exemplo de uma sequência de funções f , sendo cada f contínua, e n n

f dada por

f(x) = f (x), n

também, contínua e tal que a convergência de f a f não seja uniforme. n

3. Dê exemplo de uma sequência de funções f , sendo cada f nn

descontínua em todos os números reais, e tal que f : → dada por f

(x) = f (x), seja contínua. n

4. − 2 Seja f dada por f (x) = nxe. nx

 

a) Calcule .

b) Utilizando o Teorema 2, mostre que a sequência f , onde f (x) = n n

nxe − 2, não converge uniformemente a f em [0, 1]. nx

5. Dê exemplo de uma sequência de funções f tal que se tenha n

 

onde f (x) = f (x), mas que f não convirja uniformemente a f n n em [a, b].

 

6. Para cada n ≥ 1, seja f (x) = sen nx. Verifique que f converge n n

uniformemente, em , à função f dada por f (x) = f (x). É n verdade que para todo x, f′ (x) = (x)? Este resultado está em

contradição com o Teorema 3? Explique.