1 Sequências numéricas

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SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS

 

1.1. SEQUÊNCIA E LIMITE DE SEQUÊNCIA

Uma sequência ou sucessão de números reais é uma função n ↦ a , a n valores reais, cujo domínio é um subconjunto de . As sequências que vamos considerar de agora em diante são aquelas cujo domínio é do tipo {n ∈ | n ≥ q} onde q é um natural fixo.

A notação a (leia: a índice n) é usada para indicar o valor que a n

sequência assume no natural n. Diremos que a é o termo geral da n sequência. Por abuso de notação utilizaremos o símbolo a para indicar a n sequência de termo geral a . n

EXEMPLO 1. Seja a sequência de termo geral a n = 2. Temos

n

 

EXEMPLO 2. Seja a sequência de termo geral . Temos EXEMPLO 3. Seja a sequência de termo geral . Temos

 

EXEMPLO 4. Considere a sequência de termo geral

. Verifique que

 

Solução

 

Multiplicando ambos os membros por t, vem

 

Subtraindo membro a membro e , obtemos

s + 1 (1 − t) = 1 − t . n

n

Logo

 

Observe que s 2 é a soma dos termos da progressão geométrica 1, t, t,

n

…, tn.

■

Definição. Consideremos uma sequência de termo geral a e seja a n um número real. Definimos:

 

Se for finito, diremos que a sequência a é convergente; caso n contrário, diremos que a sequência é divergente.

Observamos que as definições acima são exatamente as mesmas que demos quando tratamos com limite de uma função f (x), para x → +∞; deste modo, tudo aquilo que dissemos sobre os limites da forma aplica-se aqui. (Veja Vol. 1.)

EXEMPLO 5. Calcule

 

Solução

EXEMPLO 6. (Teorema do confronto) Suponha que exista um natural n 1 tal que, para todo n ≥ n , a ≤ b ≤ c . Prove que se 1 n n n

 

com L real, então

 

Solução

Como existe um natural n , que 0 podemos supor maior que n , tal que 1

 

Tendo em vista a hipótese,

n > n ⇒ L − < a ≤ b ≤ c < L + 0 n n n

e, portanto,

 

n > n ⇒ L − < b < L + 0 n

ou seja,

 

EXEMPLO 7. Suponha 0 < t < 1. Mostre que

Solução

 

 

Tendo em vista o Exemplo 4,

 

Como Segue que

 

EXEMPLO 8. Considere uma sequência de termo geral a e suponha que n

Prove que

 

Solução

Precisamos provar que dado > 0, existe um natural n tal que 0

 

Da hipótese segue que dado > 0 existe um natural p tal que ou

 

Seja, então, n > p. Temos

 

Somando membro a membro estas n − p desigualdades vem

 

e, portanto,

 

Tendo em vista que p é um natural fixo, resulta

 

Segue que existe um natural q tal que Seja n máx {p, q}. De e segue que, para todo n > n , 0 0

 

(Observe que, para )

Assim,

 

Portanto,

 

Seja a , n ≥ 1, uma sequência e seja Observe n

que b é a média aritmética dos n primeiros termos da sequência de termo n

geral a . O exemplo anterior conta-nos que se então a média n

aritmética dos n primeiros termos de a também converge para a. Deixamos n a seu cargo a tarefa de provar que o resultado acima continua válido se a = +∞ ou a = −∞.

■

 

Antes de passarmos ao próximo exemplo, faremos a seguinte observação.

Observação. Seja f(x) uma função a valores reais definida no intervalo [q, + ∞[, q natural, e consideremos a sequência de termo geral

a = f (n), n ≥ q. n

É de imediata verificação que

 

desde que o limite do 2.º membro exista, finito ou infinito. (Reveja as regras de L’Hospital, Seção 9.4 do Vol. 1. Você poderá precisar delas.)

EXEMPLO 9. Calcule

Solução

 

Temos

 

Como

 

resulta Exercícios 1.1

 

1. Determine o termo geral da sequência.

 

2. Calcule, caso exista, , sendo a igual a n

 

3. Calcule , onde

4. Calcule , sendo b igual a n

 

5. Suponha a > 0, n ≥ 1, e que Prove que n

(Sugestão: Utilize o Exemplo 8 e a identidade

x = eln .)

x

 

6. Suponha a > 0, n ≥ 1. Suponha, ainda, que n

 

7. Calcule

 

8. Suponha que existe um natural n tal que, para todo n ≥ n , a ≤ b . 1 1 n n

Prove que se

9. Suponha que, para todo onde a é um número real

fixo. Calcule e justifique.

10. Seja f : A → , A ⊂ , uma função contínua em a. Seja a uma n

sequência tal que, para todo n, a ∈ A. Prove que se n

(Veja Seção 4.4 do Vol. 1.)

11. Seja f : A → A, A ⊂ , uma função contínua em a. Seja a ∈ A e 0

considere a sequência a dada por a = f (a ), n ∈ . Suponha que n n + 1 n a converge para a. Prove que a = f (a). (Observação: Dizer que a n

converge para a significa que )

 

12. Sejam a e b duas sequências tais que, para todo natural n, |a − b | ≤ n n n n

5 e−n. Suponha que an converge para o número real a. Prove que b

n

converge para a.

13. Calcule e interprete geometricamente o resultado obtido.

 

14. Verifique que a sequência é convergente. (Sugestão:

Veja Exemplo 5 da Seção 3.4 do Vol. 2, 5.ª edição.)

15. Seja α > 1 um real dado. Mostre que a sequência é

convergente. (Sugestão: Faça a mudança de variável u = x α.)

 

16. Seja é convergente ou divergente?

Justifique.

17. Resolva os exercícios das Seções 4.3 e 4.4 do Vol. 1.

18. Calcule

 

19. (Método dos babilônios para cálculo de raiz quadrada.) Considere

a sequência a , n ≥ 0, dada por n

 

onde a e α são reais positivos dados. (Observe que a é a média 0 n + 1

aritmética entre a e . Observe, ainda, que se a for uma n n aproximação por falta de , então será uma aproximação por

excesso e vice-versa.) Mostre que, para todo n ≥ 1, tem-se