Um Curso de Cálculo, Volume 4
2.3 Uma condição necessária para que uma série seja convergente. Critério do termo geral para divergência
Justifique.
3. Mostre que
(Sugestão para o item a: Sendo n um natural ímpar, verifique que
(Veja a Seção
16.3 do Vol. 1, 5.ª edição.)
4. −5 Avalie sen 1 (seno de 1 radiano) com erro em módulo inferior a 10.
2.3. UMA CONDIÇÃO NECESSÁRIA PARA QUE
UMA SÉRIE SEJA CONVERGENTE. CRITÉRIO
DO TERMO GERAL PARA DIVERGÊNCIA
O próximo teorema conta-nos que uma condição necessária (mas não suficiente) para que a série seja convergente é que
Teorema. Se for convergente, então
Demonstração
Seja Sendo a série convergente, existe um número real
s, tal que
Teremos, também, Como a = s − s , resulta n n n − 1
Portanto,
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Segue do teorema acima o seguinte critério para testar divergência de uma série.
Critério do termo geral para divergência. Seja a série Se
ou se não existir, então a série será
divergente.
EXEMPLO 1. A série é divergente, pois
Como a sequência é crescente e divergente, resulta
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EXEMPLO 2. A série é convergente ou divergente?
Justifique.
Solução
Assim, não existe. Segue que a série é divergente. Observe:
A sequência é crescente e divergente; logo
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EXEMPLO 3. É convergente ou divergente? Justifique.
Solução
a) Como a série tem chance de ser convergente.
Sabemos, entretanto, que tal série é divergente, pois trata-se de uma
série harmônica de ordem 1. (Veja Exemplo 2, 2.1.)
b) segue que a série tem chance de ser convergente.
A série é convergente, pois trata-se de uma série harmônica de ordem α
= 3.
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