Um Curso de Cálculo, Volume 4
15.3 Equação generalizada de Bernoulli
Logo,
Para outro modo de resolução, veja Seção 10.4.
EXEMPLO.
Solução
ou seja,
15.3. EQUAÇÃO GENERALIZADA DE BERNOULLI
Por uma equação generalizada de Bernoulli entendemos uma equação do tipo
A mudança de variável u = h(y), y = y(x), transforma na equação linear de 1.ª ordem
EXEMPLO 1. Mostre que a equação de Bernoulli
onde α é um real dado, com α ≠ 0 e α ≠ 1, é do tipo .
Solução
Se α > 0, a equação admite a solução constante y = 0. Para y ≠ 0, a equação é equivalente a
que é do tipo 1 − α 1 − α com h(y) = y . A mudança de variável u = y
transforma a equação dada na equação linear de 1.ª ordem
■
EXEMPLO 2. Resolva
Solução
A função constante y(x) = 0, x ∈ , é solução. Para y ≠ 0, a equação é equivalente a que é do tipo com h(y) = y −3 −3 . Fazendo a mudança de variável u = y,
obtemos
cuja solução geral é u = (k − 3x) e−3 . Daí, x
Assim,
y (x) = 0
e
é a família das soluções.
■
EXEMPLO 3. Resolva
Solução
A equação dada é equivalente a
que é do tipo com h (y) = sen y. A mudança de variável u = sen y a transforma na linear
cuja solução geral é A solução geral da equação dada é então
Observe que o domínio de cada solução é um intervalo aberto I, contido no
semieixo positivo dos x, tal que para todo x ∈ I.
■
EXEMPLO 4. Seja
Determine a solução que satisfaz a condição inicial
Solução
Como o gráfico da solução pedida deve passar pelo ponto
podemos, então, supor A condição é equivalente a Fazendo y − π = v a equação se transforma
em
que é equivalente a
Procedendo como no exemplo anterior, obtemos
Fica a seu cargo verificar que
satisfaz a condição inicial
■
Para encerrar a seção, damos a seguinte
DICA. Considere a equação
Divida por h (y) e verifique se é do tipo . Se for, resolva. Caso contrário, 2
divida por h (y). Se for do tipo , resolva. Caso contrário, use a sua 1