15.12 Equação diferencial de 2.ª ordem do tipo y'' = f (y) y'

A mudança de variável

y' = u (u = u(x))

transforma a equação em uma de 1.ª ordem.

EXEMPLO. xy″ + y = 4. A mudança de variável y' = u transforma a equação na de 1.ª ordem

xu' + u = 4.

Achada u = u(x), por integração obtém-se y = y(x):

y = ∫ u (x) dx

Logo,

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15.12. a E QUAÇÃO D IFERENCIAL DE 2. ORDEM DO

TIPO y″ = f (y) y'

onde f é suposta definida e contínua num intervalo J. Seja F : J → uma primitiva de f, isto é, F' = f em J. A equação é, então, equivalente à equação

pois

[F(y)]' F' (y)y' = f(y) y'.

A equação é equivalente à família de equações

y' = F (y) + A (A ∈ ),

que são de 1.ª ordem e de variáveis separáveis.

EXEMPLO. Determine uma solução da equação

y″ = y2y'

que satisfaça as condições iniciais

Solução

que é equivalente a

Tendo em vista as condições iniciais, resulta A 0. Assim, Separando as variáveis e integrando, obtemos

Tendo em vista a condição inicial y (0) = 1, resulta Assim,

é uma solução do problema.

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Observação. Se em lugar de tivéssemos

o procedimento seria evidentemente o mesmo: é equivalente a

onde F' = f ; daí

= F(x) + A,

ou seja,

que é uma equação de 1.ª ordem de variáveis separáveis.

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