11.3 Equações direnciais lineares, com coeficientes constantes, de ordens 3 e 4

COEFICIENTES CONSTANTES, DE ORDENS 3

E 4

Consideremos a equação diferencial linear de 3. a ordem, homogênea, com coeficientes constantes,

 

onde a , a e a são reais dados. Sejam λ , i = 1, 2, 3, as raízes, reais ou 1 2 3 i complexas, da equação característica

 

No Apêndice 1 do Vol. 2, vimos que a solução geral de é

 

Como estamos supondo a , a e a reais, segue que se admitir a raiz 1 2 3 complexa α + iβ, admitirá, também, a complexa conjugada α − iβ,

(verifique). Supondo que λ seja a raiz real, a solução geral será, então, 1

x = Ae λ (α − ) + B e(α + iβ)t + c e . 1t iβ t

1 1

Pela relação de Euler

B (α + ) αt e + C e(α − iβ)t = e [B cos βt + C sen βt], iβ t

1 1

onde B = B + C e C = i(B − C ). Portanto, a solução geral será 1 1 1 1

x = Ae λ α 1 t t + e [B cos βt + C sen βt].

Da mesma forma resolvem-se as equações lineares, homogêneas, com coeficientes constantes, de ordem n > 3. (Verifique.)

EXEMPLO 1. Determine a solução geral da equação

 

Solução

A equação característica é

λ3 − 1 = 0.

Como λ3 2 − 1 = (λ − 1) (λ + λ + 1), a equação acima é equivalente a

 

A equação característica tem a raiz real 1 e as complexas

 

A solução geral será, então, EXEMPLO 2. Determine a solução geral de

 

Solução

A equação característica é

λ3 2 − λ − λ + 1 = 0,

cujas raízes são 1 (raiz dupla) e − 1. (Por inspeção, verifica-se que 1 é raiz; dividindo o 1.° membro por λ − 1, obtemos:

λ3 2 2 2 − λ − λ + 1 = (λ − 1)(λ − 1) = (λ − 1)(λ + 1).)

A solução geral será, então,

 

EXEMPLO 3. Determine a solução geral de

 

Solução

A equação característica é

λ 3 2 + 2λ = 0,

cujas raízes são 0 (raiz dupla) e −2. A solução geral será, então,

EXEMPLO 4. Determine a solução geral de

 

 

Solução

A equação característica

λ3 2 − 3λ + 3λ − 1 = 0

admite a única raiz real 1 (raiz tripla). A solução geral será, então,

 

Consideremos, agora, a equação de 4.a ordem

 

onde a , a , a e a são reais dados. Sejam λ , i = 1, 2, 3, 4 as raízes, reais ou 1 2 3 4 i complexas, da equação característica

λ4 3 2 + a λ + a λ + a λ + a = 0.

1 2 3 4

Com procedimento análogo aos casos anteriores prova-se que a solução geral de será:

x = Aeλ λ λ λ 1t t t t 2 + Be + Ce + De 3 4

se as raízes forem distintas duas a duas;

Utilizando-se a relação de Euler, verifica-se que se a equação característica admitir as raízes reais distintas λ , λ e as complexas α ± iβ, 1 2 então a solução geral será

x = Ae λ λ α 1 t t t + Be + e [C cos βt + D sen βt]; 2

evidentemente, se λ = λ , então 1 2

x = eλ αt [A + Bt] + e [C cos βt + D sen βt]. 1t

Se a equação característica admitir as raízes complexas teremos

x = eαt [A cos βt + B sen βt] + e [C cos γt + D sen γt]. δt

Deixamos a seu cargo pensar como será a solução geral no caso em que uma raiz complexa é dupla. (Veja Exemplo 7.)

EXEMPLO 5. Uma partícula de massa m = 1 desloca-se no plano sob a ação da força

 

Sabe-se que no instante t = 0 a partícula encontra-se na posição (0, 0) e que, neste instante, sua velocidade é . Determine a posição da

partícula no instante t.

Solução

Pela segunda Lei de Newton devemos ter

 

Derivando a 2. a equação duas vezes em relação ao tempo, obtemos

 

Tendo em vista a 1.ª equação, resulta

 

que é uma equação diferencial linear, homogênea, com coeficientes constantes e de 4.a ordem. A equação característica de é

λ4 − 1 = 0,

que é equivalente a

(λ2 2 − 1)(λ + 1) = 0,

cujas raízes são: ±1 e ±i. A solução geral de é, então,

 

Pela relação de Euler

eit = cos t + i sen t

e

e−it = cos t − i sen t.

Segue que

y = Ae −t + Be + C cos t + D sen t, t

onde C = C a + D e D = i (C − D ). Como x = (2. equação de ), resulta

1 1 1 1

x = Aet −t + Be − C cos t − D sen t,

Para que as condições iniciais sejam satisfeitas, devemos ter

 

Resolvendo este sistema, obtemos

Assim,

 

 

fornece-nos a posição da partícula no instante t. Como

 

resulta

 

onde sh t é o seno hiperbólico de t. (Veja Vol. 2.) Sugerimos ao leitor tentar fazer um esboço da trajetória descrita pela partícula!

■

Antes de passarmos ao próximo exemplo, vejamos como se resolve a equação

λ4 + 16 = 0.

As raízes desta equação são todas complexas e de módulo .

Os números complexos de módulo 2 são da

forma

2 (cos θ + i sen θ), 0 ≤ θ < 2 π.

Como eiθ = cos θ + i sen θ, resulta

2ei = 2 (cos θ + i sen θ). θ

Vamos, então, determinar θ de modo que 2eiθ seja raiz da equação dada. Devemos ter

(2e 4 ) = − 16, iθ

que é equivalente a

e4 = −1, iθ

ou ainda

cos 4θ + i sen 4θ = −1.

Basta, então, determinar θ, 0 ≤ θ < 2π, tal que

cos 4θ = − 1.

Temos:

cos 4θ = − 1 ⇔ 4θ = 2kπ + π.

Como θ [0, 2π[, resulta

 

As raízes da equação λ4 + 16 = 0 são:

 

EXEMPLO 6. Determine a solução geral de

 

Solução

A equação característica é

λ4 + 16 = 0,

cujas raízes, como vimos acima, são:

Segue que a solução geral da equação dada é

 

ou

 

EXEMPLO 7. Determine a solução geral de

 

Solução

A equação característica é

λ4 2 + 2λ + 1 = 0.

Como

λ4 2 2 2 2 2 + 2λ + 1 = (λ + 1) = (λ + i) (λ − i),

segue que i e − i são raízes duplas. A solução geral da equação dada é então

x = A eit + B teit + C e−it + D te−it, 1 1 1 1

ou seja,

x = A − it −it e + C e + t[B e + D e ]. it it

1 1 1 1

Logo,

 

Exercícios 11.3

 

1. Determine a solução geral

 

2. Considere no plano um campo de forças conservativo (x, y), com

energia potencial

 

isto é, . Uma partícula de massa m = 1 é

abandonada na posição (1, 1), com velocidade nula. Determine a posição da partícula no instante t.

3. Uma partícula de massa m = 1 desloca-se no plano sob a ação da

força

Sabe-se que no instante t = 0 a partícula encontra-se na posição (−2, 0) e que, neste instante, a sua velocidade é (−1, 1). Determine a posição da partícula no instante t.

4. Considere no plano um campo de forças conservativo (x, y), com

energia potencial

U (x, y) = x2 2 + xy + y,

isto é, . Uma partícula é abandonada na posição (1, 1)

com velocidade nula. Seja

 

a posição da partícula no instante t.

a) Prove que, para todo t ≥ 0,

 

Conclua que a partícula permanece na região x2 2 + xy + y ≤ 3, para todo t ≥ 0. Que tipo de região é esta?

b) Determine a posição da partícula no instante t > 0.

(Sugestão para o item a: Verifique que a derivada, em relação a t, do 1.° membro é zero, para todo t ≥ 0.)

5. Considere no plano um campo de forças conservativo (x, y), com

energia potencial

U(x, y) = xy.