12 Sistemas de duas e três equações diferenciais lineares de 1ª ordem e com coeficientes constantes

12

 

SISTEMAS DE DUAS E TRÊS

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

LINEARES DE 1.ª ORDEM E COM

COEFICIENTES CONSTANTES

 

12.1. SISTEMA HOMOGÊNEO DE DUAS EQUAÇÕES

DIFERENCIAIS LINEARES DE 1a ORDEM,

COM COEFICIENTES CONSTANTES

Um sistema de duas equações diferenciais lineares de 1.ª ordem, homogêneo, com coeficientes constantes, é um sistema do tipo

 

onde os a são reais dados. Uma solução de é um par de funções ij

tal que, para todo t ∈ I,

 

 

EXEMPLO 1. O par de funções x = cos t e y = sen t, t ∈ , é uma solução do sistema

 

pois, para todo t ∈ ,

 

Sejam

 

soluções de . Deixamos a seu cargo verificar que, quaisquer que sejam os números reais k e k , 1 2

 

também será solução de . Utilizando vetores-colunas, pode ser reescrita na forma vetorial

A expressão acima nos diz que se

 

são soluções de , então qualquer combinação linear delas também será solução. Os dois exemplos que apresentaremos a seguir mostram que existem soluções tais que qualquer outra solução de é da forma .

Primeiro estudaremos o caso em que a ≠ 0 ou a ≠ 0 e, em seguida, o caso 12 21 a = a = 0. 12 21

EXEMPLO 2. Resolva o sistema

 

supondo a ≠ 0 ou a ≠ 0. 12 21

Solução

Vamos mostrar que resolver este sistema é equivalente a resolver uma equação diferencial linear de 2.ª ordem, homogênea e com coeficientes

constantes. Para fixar o raciocínio, vamos supor a ≠ 0. Façamos a 12 mudança de variável

 

Daí

Agora, multiplicando a 2.ª equação do sistema dado por a12 e substituindo

e no sistema obtido, resulta

 

e, portanto,

 

Da 1.ª equação, segue

 

Substituindo na 2.ª, obtemos

 

Assim, se x = x (t) e u = u (t) for solução de , então x = x (t) será solução da equação diferencial linear de 2.ª ordem, homogênea e com coeficientes constantes

 

Por outro lado, se x = x (t) for solução de , então x = x (t) e u = (t) será solução de . Observamos que a equação característica de é

 

onde o 1.º membro é o determinante da matriz Sejam λ e λ as raízes (reais ou complexas) da equação acima. Então, a 1 2

solução geral de ; será

 

ou

 

ou

 

Se λ ≠ λ e reais, teremos 1 2

 

De a y = u − a x, resulta 12 11

 

Por outro lado, se λ = λ , teremos 1 2

 

Fazendo c = a k e c = a k , resulta 1 12 1 2 12 2

 

Se λ ≠ λ e reais, a solução geral será 1 2

Se λ = λ , a solução geral será 1 2

 

Deixamos a seu cargo verificar que, se λ = α ± iβ, β ≠ 0, a solução geral será

 

onde m = α − a . 11

■

 

Observação. Como sabemos, dados os números reais t , x e y , a equação 0 0 0

admite uma, e somente uma, solução x = x (t), t ∈ , satisfazendo as

condições iniciais x (t ) = x e (t ) = y . (Confira.) Segue que o sistema 0 0 0 0 dado admite uma, e somente uma, solução x = x (t) e y = y (t), t ∈ , satisfazendo as condições iniciais x (t ) = x e y (t ) = y . 0 0 0 0

EXEMPLO 3. Resolva

 

Solução

 

e

A solução geral é então

 

 

Observe que λ = a e λ = a são as raízes da equação 1 11 2 22

 

A solução geral pode então ser colocada na forma

 

■

 

Observação. Fazendo, em , , obtemos a única

solução do sistema que satisfaz as condições iniciais x (t ) = x e y (t ) = y . 0 0 0 0

O importante teorema que destacaremos a seguir é consequência dos Exemplos 2 e 3 e das observações que seguem estes exemplos. (Verifique.)

 

Teorema (de existência e unicidade). Dados os números reais t , x 00 e y , o sistema admite uma solução 0

 

satisfazendo as condições iniciais

x (t ) = x e y (t ) = y . 0 0 0 0

Além disso, se

 

for outra solução tal que

x (t ) = x e y (t ) = y , 1 0 0 1 0 0

então, para todo t ∈ I,

x (t) = x (t) e y (t) = y (t). 1 1

 

Uma pergunta que surge naturalmente é a seguinte: sabendo que

 

são duas soluções de , que condições elas devem satisfazer para que

 

seja a solução geral de ? Tendo em vista o teorema anterior, para que a

expressão acima seja a solução geral basta que, para quaisquer reais t , x e 0 0 y dados, existam k e k tais que para estes k e k a solução acima satisfaça 0 1 2 1 2 as condições iniciais

x (t ) = x e y (t ) = y . 0 0 0 0

Basta, então, como se verifica facilmente, que, para todo t , 0

 

Conclusão

 

Sendo

 

duas soluções de tais que, para todo t real,

 

então

 

é a solução geral de .

 

Sendo soluções de , a função W = W (t), t ∈ dada pelo determinante

 

denomina-se wronskiano de tais soluções. O resultado acima nos diz simplesmente que se o wronskiano W (t) for diferente de zero para todo t, então

 

será a solução geral de . Abel e Liouville descobriram que, para se ter W (t) ≠ 0, para todo t, basta que se tenha W (0) ≠ 0, como mostra o próximo teorema.

 

Teorema (de Abel-Liouville). Seja W (t) o wronskiano das

soluções

 

do sistema . Então, para todo t real,

 

Em particular, se W (0) ≠ 0, então, para todo t real, W (t) ≠ 0.

 

Demonstração

Derivando em relação a t, obtemos

 

 

Como são soluções de , resulta

 

Segue que

 

e, portanto,

(t) = (a + a ) W (t). 11 22

Assim, W = W (t) é uma solução da equação diferencial linear de 1.ª ordem

 

Logo, existe uma constante k tal que

 

Como k = W (0), resulta