10.4 Equações lineares de 1.ª ordem

de 10 m/s2. (Lembre-se de que o peso do corpo é o produto de sua massa pela aceleração gravitacional.)

6. A reta tangente ao gráfico de y = f(x), no ponto (x, y), intercepta o

eixo y no ponto de ordenada xy. Determine f sabendo que f(1) = 1.

7. Determine a curva que passa por (1, 2) e cuja reta tangente em (x, y)

intercepta o eixo x no ponto de abscissa .

8. Um corpo de massa 2,5 kg cai do repouso e as únicas forças atuando

sobre ele são o seu peso e uma força de resistência igual ao quadrado da velocidade. Qual a velocidade no instante t? Suponha que a aceleração gravitacional seja de 10 m/s 2.

9. Para todo a > 0, o gráfico de y = f(x) intercepta ortogonalmente a

curva x 2 2 + 2y = a. Determine f sabendo que f(1) = 2.

10. Para todo a > 0, o gráfico de y = f(x) intercepta ortogonalmente a

curva xy = a, x > 0. Determine f sabendo que f(2) = 3.

11. Determine uma curva que passa pelo ponto (0, 2) e que goza da

seguinte propriedade: a reta tangente no ponto (x, y) encontra o eixo x no ponto A, de abscissa positiva, de tal modo que a distância de (x, y) a A seja sempre 2.

 

10.4 EQUAÇÕES LINEARES DE 1.ª ORDEM

Uma equação diferencial linear de primeira ordem é uma equação do tipo

 

onde f(x) e g(x) são funções contínuas definidas num mesmo intervalo I. Se g(x) = 0 em I, então diremos que é uma equação linear homogênea de 1.ª ordem.

EXEMPLO 1. é linear de 1.ª ordem; aqui f(x) = x e g(x) = 1.

Esta equação é linear mas não homogênea.

■

 

EXEMPLO 2. é linear de 1.ª ordem e é, também, de variáveis

separáveis; aqui f(t) = t 2 e g(t) = 0. Trata-se, ainda, de uma equação linear homogênea de 1.ª ordem, pois, g(t) = 0 para todo t.

■

 

EXEMPLO 3. sen x não é linear e tampouco de variáveis

separáveis.

Se g(x) = 0 em I, teremos a equação linear homogênea que é,

também, uma equação de variáveis e cuja solução é

 

EXEMPLO 4. Resolva a equação . Solução

Trata-se de uma equação diferencial linear e, também, de variáveis separáveis. Separando as variáveis, integrando e observando que a função constante y = 0 é, também, solução, obtemos a solução geral

A seguir, vamos destacar a fórmula para o cálculo das soluções de .

 

Fórmula para as soluções de uma equação diferencial linear de

1.ª ordem

As soluções da equação

 

são dadas pela fórmula

 

onde as integrais indicam primitivas particulares dos integrandos.

 

Para chegar a esta fórmula, vamos olhar primeiro para a equação homogênea , cuja soleção, como saemos, e, como k

é uma constante, isto significa que a derivada do quociente é zero.

Calculando a derivada deste quociente, observase que a razão do zero é o aparecimento no numerador, após simplificação, da expressão y′ − f(x)y. Então, se supusermos y = y(x) solução de y′ = f(x)y + g(x), no numerador deverá aparecer g(x), pois, neste caso, y′ f(x)y = g(x). Vamos conferir? Sendo, então, y = y(x) solução de y′ = f(x)y + g(x) teremos, também, y′ − f(x)y = g(x). Temos

ou seja,

 

Integrando, resulta

 

e portanto,

 

onde as integrais indicam primitivas particulares dos integrandos.

EXEMPLO 5. Resolva a equação . Qual a solução que satisfaz

a condição inicial y(0) = 5?

Solução

Trata-se de uma equação linear onde f(x) = 3 e g(x) = 4. As soluções são então dadas pela fórmula

 

ou seja,

 

De , resulta

Para que tenhamos y(0) = 5, k deverá satisfazer a equação , ou

 

seja, . Assim, a solução satisfaz a condição dada.

 

■

 

Esqueceu a fórmula? Caso tenha esquecido a fórmula, proceda do seguinte modo. A solução da equação . Construamos, agora, o

quociente . Derivando este quociente e supondo que y = y(x) seja

solução da equação dada, vem

 

Integrando, obtemos

 

Cuidado. Tudo isso funciona bem porque a equação é linear!!

O próximo exemplo mostra como a equação diferencial linear se relaciona com a matemática financeira.

EXEMPLO 6. Certa pessoa faz hoje uma aplicação de R$5.000,00 em uma instituição financeira que remunera o capital aplicado de acordo com a equação , onde C = C(t) é o valor da aplicação no instante t,

sendo t dado em meses e C em reais. Observe que o capital C está variando a uma taxa que é proporcional ao valor do capital no instante t, sendo

0,02 o coeficiente de proporcionalidade.

a) Qual o valor do capital aplicado no instante t? b) Qual o valor da aplicação daqui a um mês? E daqui a 2 meses? c) Qual a taxa mensal de juros compostos que a instituição financeira está

pagando?

d) Interprete o coeficiente de proporcionalidade 0,02.

Solução

a) É uma equação linear e, também, de variáveis separáveis. Integrando,

obtemos

 

Como o valor da aplicação realizada hoje foi de R$5.000,00, segue que C(0) = 5.000.

Deste modo, C = 5.000 e0,02 será o valor da aplicação no instante t. t

b) Para t = 1, C = 5.000 e 0,02 0,02 = 5.101, 00670015, pois e ≅ 1,02020134, logo o valor da aplicação daqui a 1 mês será de R$5.101,01. E daqui a dois meses teremos C = 5.000 e0,04, ou seja, C = 5.204,05. Assim, daqui a 1 mês o valor da aplicação será de R$5.101,01 e daqui a dois meses o valor será de R$5.204,05.

c) Como segue que a taxa de juros

compostos que está sendo paga pela financeira é de 2,020134% ao mês. d) Antes de interpretar o coeficiente 0,02, vamos fazer um pequeno comentário sobre taxa de juros compostos e taxa nominal de juros. Por

exemplo, se aplicamos hoje um valor C a uma taxa de juros compostos de 0 i% ao mês, isto significa que daqui a 1 mês o montante da aplicação será de

o montante ao final do 2.º mês é obtido somando-se ao montante C os juros 1 devidos no mês, à taxa de i%, e calculado sobre este montante, ou seja,

 

 

repetindo este procedimento, ao final de t meses o montante será de

 

que é a fórmula para o cálculo do montante no regime de juros compostos. Observe que neste regime são calculados juros sobre juros. Por outro lado, uma taxa nominal de juros, que deverá vir sempre acompanhada do número de capitalizações que ocorrerão no período a que ela se refere, é, também, equivalente a uma taxa de juros compostos como veremos. Por exemplo, uma taxa nominal de juros de 18% ao ano, capitalizável mensalmente ou capitalizável 12 vezes no ano, é uma outra maneira de nos referirmos a uma taxa de juros compostos de ao mês; supondo mês de 30 dias, uma taxa

nominal de 3% ao mês, capitalizável 30 vezes no mês, é equivalente a uma taxa de juros compostos de ao dia; e assim por diante. Suponhamos,

agora, que uma aplicação de C reais seja realizada hoje a uma taxa nominal 0

de 2% ao mês; supondo mês de 30 dias, se esta taxa for capitalizável 30

vezes no mês, o montante ao final do mês será de , pois no

mês ocorrerão 30 capitalizações à taxa de ao dia; se a taxa nominal de

2% ao mês for capitalizável 60 vezes no mês, ou seja, as capitalizaáões de juros ocorrerão a cada 12 horas, o montante ao final do mês será de

se a taxa nominal de 2% ao mês for capitalizável n vezes

no mês, o montante ao final do mês será de

Lembrando que

 

isto significa, se houver infinitas capitalizações no mês, ou seja, se a capitalização de juros for instantânea, o montante da aplicação ao final do mês será de

 

Podemos então interpretar o coeficiente 0,02 = 2% como uma taxa nominal de 2% ao mês, capitalizável instantaneamente. Esta taxa nominal de juros capitalizável instantaneamente é denominada taxa instantânea ou taxa contínua de juros. Deste modo, o coeficiente 0,02 nada mais é do que a taxa instantânea ou contínua de 2% ao mês que está sendo paga pela financeira.

■

 

Exercícios 10.4

 

1. Resolva

2. Suponha E, R e C constantes não nulas. Resolva a equação.

 

 

3. Suponha E, R e L constantes não nulas. Determine a solução i = i(t)

do problema

 

4. Um objeto aquecido a 100ºC é colocado em um quarto a uma

temperatura ambiente de 20°C; um minuto após a temperatura do objeto passa a 90°C. Admitindo a lei de resfriamento de Newton que a temperatura T = T(t) do objeto esteja variando a uma taxa proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a do quarto, isto é,

 

determine a temperatura do objeto no instante t. Suponha t em minutos.

5. Um investidor aplica seu dinheiro em uma instituição financeira que

remunera o capital investido a uma taxa instantânea de 8% ao mês.