Um Curso de Cálculo, Volume 4
3.6 Critério de De Morgan
(Sugestão: Utilize Exercícios 7 e 8.)
10. Estude a série alternada com
relação a convergência e divergência, onde α > 0 é um real dado. (Sugestão: Para , utilize Exercícios 7 e 8, e para utilize
Exercício 21 da Seção 2.1.)
11. Estude a série com relação a
convergência e divergência, onde α > 0 é um real dado.
3.6. CRITÉRIO DE DE MORGAN
Critério de De Morgan. Seja a série , com a > 0, para k ≥ k q, onde q é um natural fixo. Suponhamos que
com L finito ou infinito. Então,
a) é convergente.
b) é divergente.
c) L = 1 o critério nada revela.
Demonstração
Veja final da seção.
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EXEMPLO. Estude a série com relação a convergência e
divergência, onde e α um real dado.
Solução
Como segue que o critério da razão nada revela sobre a
convergência ou divergência da série. Vamos então aplicar o critério de Raabe. Temos
Daí
Pela regra de L’Hospital
e, portanto,
Pelo critério de Raabe, a série é convergente para e divergente para
. Para , o critério de Raabe nada revela. Vamos aplicar o critério
de De Morgan para tentar decidir quando . Como anteriormente,
vamos fazer . Temos
O 2.º membro pode ser colocado na seguinte forma:
Temos (Confira!) Por outro lado, lembrando que e aplicando duas vezes a
regra de L’Hospital, resulta
Assim,
Pelo critério de De Morgan, a série é divergente para . Conclusão: a
série é convergente para e divergente para .
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Demonstração do critério de De Morgan
Primeiro observamos que
desde que um dos dois limites exista. (Confira.) Agora a e b seguem dos Exemplos 5 e 6 da Seção 3.3. Com relação a c, veja Exercício 4.
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Exercícios 3.6
1. Estude a série dada com relação a convergência e divergência.
α, β, γ, e δ são números reais quaisquer não pertencentes ao conjunto dos números inteiros estritamente negativos.
2. (Um critério para divergência.) Considere a série , com a > 0 n
para n ≥ q, onde q é um natural fixo. Seja e considere
. Suponha que
Prove que, se L for finito, a série será divergente.
3. (Critério de Gauss.) Seja uma série de termos estritamente
positivos e suponha que
onde k é um natural fixo, k ≥ 1, e b , b , …, b , c , c , …, c são reais 1 2 k 1 2 k fixos. Prove
é convergente.
é divergente.
4. Sejam
Prove